(1 ponto): Encontre as dimensões de um retângulo de perímetro 16 m e área
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontrem as dimensões (os comprimentos dos lados) de um retângulo que satisfaz duas condições:
- perímetro igual a
, - área igual a
.
Informações relevantes fornecidas:
- Perímetro
. - Área
.
O que vamos determinar: os dois lados do retângulo (dois números positivos, em metros).
Passo 2
Vamos chamar os lados do retângulo de
e
, medidos em metros. Explico as fórmulas básicas que vamos usar:
- A fórmula do perímetro de um retângulo com lados
e é Aqui é o perímetro (uma medida de comprimento) e são as medidas dos lados. - A fórmula da área de um retângulo é
Aqui é a área (medida em metros quadrados).
Substituindo os valores dados:
Passo 3
Da equação do perímetro isolamos uma variável em função da outra. Dividindo por
:
Isto dá
Agora substituímos essa expressão para
na equação da área
:
Passo 4
Desenvolvendo a equação obtida:
Colocando na forma padrão de uma equação quadrática:
Aqui uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver
, que dá as raízes
onde
,
,
são os coeficientes da equação quadrática. No nosso caso
,
(note o sinal) e
. Mas para evitar confusão eu já escrevo com
,
só se a equação fosse
; como a equação está em
usamos
,
não é conveniente aqui — é mais claro tomar
,
se a equação fosse
. Aplicando direto com
,
,
ou usando a forma
dá o mesmo resultado. Calculemos o discriminante:
Como
temos duas raízes reais distintas. Então
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Portanto as duas possíveis medidas para
são
e
. Agora encontramos os correspondentes valores de
usando
:
- Se
então . - Se
então .
Ou seja, os dois lados são os números
e
(ambos em metros). Ambos são positivos porque
, então
.
Passo 6
Checagem rápida (para garantir que não errei): soma dos lados
logo o perímetro
. Produto
logo a área é
. Perfeito!
Resposta
As dimensões são
e
.