(1 ponto): Encontre as dimensões de um retângulo de perímetro 16 m e área 13 m^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que se encontrem as dimensões (os comprimentos dos lados) de um retângulo que satisfaz duas condições:
  • perímetro igual a 16\\ \mathrm{m},
  • área igual a 13\\ \mathrm{m}^2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Perímetro P=16\\ \mathrm{m}.
  • Área A=13\\ \mathrm{m}^2.
O que vamos determinar: os dois lados do retângulo (dois números positivos, em metros).

Passo 2

Vamos chamar os lados do retângulo de \,x e \,y, medidos em metros. Explico as fórmulas básicas que vamos usar:
  • A fórmula do perímetro de um retângulo com lados \,x e \,y é P = 2(x+y). Aqui \,P é o perímetro (uma medida de comprimento) e \,x,y são as medidas dos lados.
  • A fórmula da área de um retângulo é A = x y. Aqui \,A é a área (medida em metros quadrados).
Substituindo os valores dados:
2(x+y)=16
x y = 13

Passo 3

Da equação do perímetro isolamos uma variável em função da outra. Dividindo por 2:
x+y=8.
Isto dá
y = 8 - x.
Agora substituímos essa expressão para y na equação da área \,xy=13:
x(8-x)=13.

Passo 4

Desenvolvendo a equação obtida:
8x - x^2 = 13.
Colocando na forma padrão de uma equação quadrática:
x^2 - 8x + 13 = 0.
Aqui uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver \,ax^2+bx+c=0, que dá as raízes
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes da equação quadrática. No nosso caso a=1, b=-8 (note o sinal) e c=13. Mas para evitar confusão eu já escrevo com a=1, b=-8 só se a equação fosse x^2+bx+c; como a equação está em x^2-8x+13 usamos a=1, b=-8 não é conveniente aqui — é mais claro tomar a=1, b=-8 se a equação fosse x^2+(-8)x+13. Aplicando direto com a=1, b=-8, c=13 ou usando a forma x^2-8x+13 dá o mesmo resultado. Calculemos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12.
Como \Delta>0 temos duas raízes reais distintas. Então
x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2}.
Simplificando \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}, obtemos
x = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}.

Passo 5

Portanto as duas possíveis medidas para x são \,x_1 = 4 + \sqrt{3} e \,x_2 = 4 - \sqrt{3}. Agora encontramos os correspondentes valores de y usando y=8-x:
  • Se x = 4 + \sqrt{3} então y = 8 - (4 + \sqrt{3}) = 4 - \sqrt{3}.
  • Se x = 4 - \sqrt{3} então y = 8 - (4 - \sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3}.
Ou seja, os dois lados são os números \,4+\sqrt{3} e \,4-\sqrt{3} (ambos em metros). Ambos são positivos porque \sqrt{3}\approx1,732, então 4-\sqrt{3}\approx2,268>0.

Passo 6

Checagem rápida (para garantir que não errei): soma dos lados
(4+\sqrt{3})+(4-\sqrt{3})=8,
logo o perímetro 2\cdot8=16\\ \mathrm{m}. Produto
(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})=4^2-(\sqrt{3})^2=16-3=13,
logo a área é 13\\ \mathrm{m}^2. Perfeito!

Resposta

As dimensões são \,4+\sqrt{3}\\ \mathrm{m} e \,4-\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

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