Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
.
Passo 1
O enunciado dá a região
e pede duas coisas: esboçar (desenhar) a região e calcular sua área, se for finita.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há a curva
. - A região inclui apenas pontos com
. - Para cada
válido, varia entre e , isto é .
Passo 2
Entendendo a curva
para desenhar:
- Em
temos . Então a curva passa por . - Para
a função decresce: ; . - Quando
, : a reta (eixo ) é uma assíntota horizontal à esquerda. - A curva é sempre positiva:
para todo .
Como desenhar o esboço:
- Desenhe os eixos
e . - Plote
e uma curva que sobe para a direita passando por esse ponto e que, à esquerda, se aproxima de . - Restrinja o desenho a
: só interessa o ramo da curva à esquerda da reta vertical . - A região
é a faixa abaixo da curva , acima do eixo , para . Ou seja, um “pedaço” infinito para a esquerda que vai afunilando até o eixo .
(Dica visual: sombreie a área entre a curva
e o eixo
, desde
até
.)
Passo 3
Montando a integral para a área: uma forma natural é integrar em
primeiro determinando, para cada
, a altura em
.
- Para cada
temos indo de até . - Portanto a área
é a integral dupla que reduz para uma integral simples:
Explicação do porquê: a integral interna em
calcula a altura (comprimento vertical) para um
fixo; integrando em
somamos essas alturas ao longo da largura (que vai de
até
).
Passo 4
Calcule a integral interna e simplifique:
Assim
Isto é uma integral imprópria porque o limite inferior é
. Calcula-se como limite:
Agora integramos a função exponencial (fórmula básica):
. Então
Tomando
temos
, logo
Portanto a integral converge e a área é finita.
Passo 5
Checagem alternativa (substituição simples): seja
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Temos
, logo
Isto confirma o resultado anterior de forma direta.
Passo 6
Interpretação final e comentário encorajador: mesmo sendo a região ilimitada para a esquerda em
, a altura em
cai exponencialmente rápido para
, fazendo com que a área total seja finita. Boa notícia: um problema que parecia “infinito” tem uma resposta simples e limpa —
. Continua firme que já tá indo bem!