Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
S=\left\{(x, y) ; x \leq 0,0 \leq y \leq e^{x}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a região
S=\{(x,y)\;;\;x\leq 0,\;0\leq y\leq e^{x}\},
e pede duas coisas: esboçar (desenhar) a região e calcular sua área, se for finita.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há a curva y=e^{x}.
  • A região inclui apenas pontos com x\leq 0.
  • Para cada x válido, y varia entre 0 e e^{x}, isto é 0\leq y\leq e^{x}.

Passo 2

Entendendo a curva y=e^{x} para desenhar:
  • Em x=0 temos y=e^{0}=1. Então a curva passa por (0,1).
  • Para x<0 a função decresce: x=-1\Rightarrow y=e^{-1}\approx0{,}367; x=-2\Rightarrow y\approx0{,}135.
  • Quando x\to -\infty, e^{x}\to 0: a reta y=0 (eixo x) é uma assíntota horizontal à esquerda.
  • A curva é sempre positiva: e^{x}>0 para todo x.
Como desenhar o esboço:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Plote (0,1) e uma curva que sobe para a direita passando por esse ponto e que, à esquerda, se aproxima de y=0.
  • Restrinja o desenho a x\leq 0: só interessa o ramo da curva à esquerda da reta vertical x=0.
  • A região S é a faixa abaixo da curva y=e^{x}, acima do eixo y=0, para x\leq0. Ou seja, um “pedaço” infinito para a esquerda que vai afunilando até o eixo x.
(Dica visual: sombreie a área entre a curva y=e^{x} e o eixo y=0, desde x=-\infty até x=0.)

Passo 3

Montando a integral para a área: uma forma natural é integrar em x primeiro determinando, para cada x, a altura em y.
  • Para cada x\leq0 temos y indo de 0 até e^{x}.
  • Portanto a área A é a integral dupla que reduz para uma integral simples:
A=\int_{x=-\infty}^{0}\left(\int_{y=0}^{e^{x}} dy\right)dx.
Explicação do porquê: a integral interna em y calcula a altura (comprimento vertical) para um x fixo; integrando em x somamos essas alturas ao longo da largura (que vai de -\infty até 0).

Passo 4

Calcule a integral interna e simplifique:
\int_{y=0}^{e^{x}} dy = e^{x}.
Assim
A=\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx.
Isto é uma integral imprópria porque o limite inferior é -\infty. Calcula-se como limite:
A=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} e^{x}\,dx.
Agora integramos a função exponencial (fórmula básica): \int e^{x}\,dx = e^{x}+C. Então
\int_{a}^{0} e^{x}\,dx = e^{0}-e^{a}=1-e^{a}.
Tomando a\to -\infty temos e^{a}\to 0, logo
A=\lim_{a\to -\infty} (1-e^{a}) = 1-0=1.
Portanto a integral converge e a área é finita.

Passo 5

Checagem alternativa (substituição simples): seja u=e^{x}. Quando x vai de -\infty a 0, u vai de 0 a 1. Temos du=e^{x}dx, logo
A=\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx = \int_{u=0}^{1} du = 1.
Isto confirma o resultado anterior de forma direta.

Passo 6

Interpretação final e comentário encorajador: mesmo sendo a região ilimitada para a esquerda em x, a altura em y cai exponencialmente rápido para 0, fazendo com que a área total seja finita. Boa notícia: um problema que parecia “infinito” tem uma resposta simples e limpa — A=1. Continua firme que já tá indo bem!

Resposta

\text{Área}=1Á

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