Determine e faça um esboço das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede (vou deixar bem explícito):
- Determinar o domínio de definição de
(ou seja, todos os nos quais está bem definida). - Fazer um esboço (descrever como desenhar) do gráfico de
— isto inclui identificar fronteiras importantes, simetrias e pontos extremos para facilitar o desenho.
Todas as informações dadas já aparecem na expressão acima (dois radicais). Não há imagens fornecidas.
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar as condições de existência dos radicais. Cada raiz exige que o argumento seja não negativo. Portanto precisamos das duas desigualdades simultaneamente:
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 3
Interpretando geometricamente as duas condições do passo anterior:
- A condição
descreve o disco fechado de raio centrado na origem no plano . - A condição
descreve a faixa vertical (o intervalo em ) , sem restrição em .
O domínio deé a interseção desses dois conjuntos: o conjunto de pontos do disco de raio cujas abscissas satisfazem .
Em fórmula:
Passo 4
Descrever a fronteira do domínio (útil para o esboço):
- Arco de círculo: parte do círculo
com . - Duas retas verticais (segmentos):
e com variando entre e , ou seja .
Assim o domínio é uma “tira” vertical (entree ) recortada por um círculo de raio ; graficamente é o pedaço central do disco de raio limitado por essas duas linhas.
Passo 5
Simetrias e propriedades simples da função (úteis para desenhar):
-
depende apenas de e , logo é par em e em :
Portanto o gráfico é simétrico em relação aos planos
e
.
- Ambos os termos são não negativos, logo
em todo o domínio.
Passo 6
Encontrar máximos e mínimos (valores extremos) de
no domínio:
- Estimativa superior:
para todo no disco, com igualdade apenas em ; para , com igualdade apenas em . Soma: . Em obtemos
portanto o valor máximo global é
e ocorre em
.
- Estimativa inferior: como soma de dois termos não negativos,
. Podemos procurar pontos onde : isso exige que ambos radicais sejam zero simultaneamente:
Combinar dá
e
, logo quatro pontos:
onde
. Portanto o valor mínimo global é
e é atingido nesses quatro pontos de fronteira.
Passo 7
Análise de seções transversais — dica prática para esboçar o gráfico:
- Se fixarmos
com , então a função em é
Definindo
temos a relação
Como
, para aquele
fixo a curva
é a semicircunferência superior de raio
centrada em
. Voltando a
, temos
, isto é, a semicircunferência é deslocada verticalmente para cima por
. Conclusão: cada seção a
fixo é uma meia-circunferência em
de raio
centrada em
.
- Exemplos numéricos que ajudam no desenho:
- Para
: e a seção é meia-circunferência de raio centrada em . Assim em o perfil em varia de em até em . - Para
: e a seção é meia-circunferência de raio centrada em . Em o perfil em vai de em até em .
- Para
Passo 8
Instruções práticas para esboçar o gráfico à mão (passo a passo):
- No plano
, desenhar o círculo de raio centrado na origem. - Marcar as linhas verticais
e e sombrear a região do disco que fica entre essas linhas: esse é o domínio . - Desenhar o ponto mais alto do gráfico:
. - Nas secções
(por exemplo) desenhar no plano as meias-circunferências descritas no passo 7 (cada semicircunferência centrada em com raio ). Ligar suavemente essas seções para formar a superfície. - Marcar os pontos de mínimo
na borda do domínio. - Levar em conta as simetrias em
e para completar o esboço.
Passo 9
Resumo geométrico do gráfico:
- O termo
é a metade superior de uma esfera (hemisfério) de raio . - O termo
é uma “cobertura” que depende só de : é a meia-circunferência de raio no plano estendida ao longo de . - O gráfico de
é a soma dessas duas superfícies restrita ao domínio : visualmente é um hemisfério (ou porção dele) com uma crista (ridge) extra que aumenta a altura em função de , mais pronunciada perto de .
Resposta
Domínio:
Valor máximo:
em
.
Valor mínimo:
nos quatro pontos
e
.