Determine e faça um esboço das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}.
O que o problema pede (vou deixar bem explícito):
  • Determinar o domínio de definição de f (ou seja, todos os (x,y) nos quais f está bem definida).
  • Fazer um esboço (descrever como desenhar) do gráfico de z=f(x,y) — isto inclui identificar fronteiras importantes, simetrias e pontos extremos para facilitar o desenho.
Todas as informações dadas já aparecem na expressão acima (dois radicais). Não há imagens fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar as condições de existência dos radicais. Cada raiz exige que o argumento seja não negativo. Portanto precisamos das duas desigualdades simultaneamente:
4-x^{2}-y^{2}\ge 0 \qquad\text{e}\qquad 1-x^{2}\ge 0.
Escrevendo de forma mais clara:
x^{2}+y^{2}\le 4 \qquad\text{e}\qquad x^{2}\le 1.

Passo 3

Interpretando geometricamente as duas condições do passo anterior:
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 4 descreve o disco fechado de raio 2 centrado na origem no plano xy.
  • A condição x^{2}\le 1 descreve a faixa vertical (o intervalo em x) -1\le x\le 1, sem restrição em y.
    O domínio de f é a interseção desses dois conjuntos: o conjunto de pontos do disco de raio 2 cujas abscissas satisfazem -1\le x\le 1.
Em fórmula:
\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\\ -1\le x\le 1\}.

Passo 4

Descrever a fronteira do domínio (útil para o esboço):
  • Arco de círculo: parte do círculo x^{2}+y^{2}=4 com -1\le x\le 1.
  • Duas retas verticais (segmentos): x=1 e x=-1 com y variando entre -\sqrt{4-1} e +\sqrt{4-1}, ou seja y\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}].
    Assim o domínio é uma “tira” vertical (entre x=-1 e x=1) recortada por um círculo de raio 2; graficamente é o pedaço central do disco de raio 2 limitado por essas duas linhas.

Passo 5

Simetrias e propriedades simples da função (úteis para desenhar):
  • f depende apenas de x^{2} e y^{2}, logo é par em x e em y:
f(-x,y)=f(x,y),\qquad f(x,-y)=f(x,y).
Portanto o gráfico é simétrico em relação aos planos x=0 e y=0.
  • Ambos os termos são não negativos, logo f(x,y)\ge 0 em todo o domínio.

Passo 6

Encontrar máximos e mínimos (valores extremos) de f no domínio:
  • Estimativa superior: \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\le 2 para todo (x,y) no disco, com igualdade apenas em (0,0); \sqrt{1-x^{2}}\le 1 para |x|\le 1, com igualdade apenas em x=0. Soma: f(x,y)\le 2+1=3. Em x=0,y=0 obtemos
f(0,0)=\sqrt{4-0-0}+\sqrt{1-0}=2+1=3,
portanto o valor máximo global é 3 e ocorre em (0,0).
  • Estimativa inferior: como soma de dois termos não negativos, f(x,y)\ge 0. Podemos procurar pontos onde f=0: isso exige que ambos radicais sejam zero simultaneamente:
\sqrt{1-x^{2}}=0\Rightarrow |x|=1, \qquad \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4.
Combinar dá x^{2}=1 e y^{2}=3, logo quatro pontos:
(1,\sqrt{3}),\\ (1,-\sqrt{3}),\\ (-1,\sqrt{3}),\\ (-1,-\sqrt{3}),
onde f=0. Portanto o valor mínimo global é 0 e é atingido nesses quatro pontos de fronteira.

Passo 7

Análise de seções transversais — dica prática para esboçar o gráfico:
  • Se fixarmos x com -1\le x\le 1, então a função em y é
z=f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}.
Definindo u=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} temos a relação
u^{2}+y^{2}=4-x^{2}.
Como u\ge 0, para aquele x fixo a curva (y,u) é a semicircunferência superior de raio \sqrt{4-x^{2}} centrada em y=0. Voltando a z, temos z=u+\sqrt{1-x^{2}}, isto é, a semicircunferência é deslocada verticalmente para cima por \sqrt{1-x^{2}}. Conclusão: cada seção a x fixo é uma meia-circunferência em (y,z) de raio \sqrt{4-x^{2}} centrada em (y=0,z=\sqrt{1-x^{2}}).
  • Exemplos numéricos que ajudam no desenho:
    • Para x=0: \sqrt{1-0}=1 e a seção é meia-circunferência de raio \sqrt{4}=2 centrada em z=1. Assim em x=0 o perfil em y varia de z=3 em y=0 até z=1 em y=\pm 2.
    • Para x=1: \sqrt{1-1}=0 e a seção é meia-circunferência de raio \sqrt{3} centrada em z=0. Em x=1 o perfil em y vai de z=\sqrt{3} em y=0 até z=0 em y=\pm\sqrt{3}.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar o gráfico à mão (passo a passo):
  1. No plano xy, desenhar o círculo de raio 2 centrado na origem.
  2. Marcar as linhas verticais x=-1 e x=1 e sombrear a região do disco que fica entre essas linhas: esse é o domínio \mathcal{D}.
  3. Desenhar o ponto mais alto do gráfico: (0,0,3).
  4. Nas secções x=0,\pm 1/2,\pm 1 (por exemplo) desenhar no plano yz as meias-circunferências descritas no passo 7 (cada semicircunferência centrada em z=\sqrt{1-x^{2}} com raio \sqrt{4-x^{2}}). Ligar suavemente essas seções para formar a superfície.
  5. Marcar os pontos de mínimo ( \pm 1,\\ \pm\sqrt{3},\\\ 0) na borda do domínio.
  6. Levar em conta as simetrias em x e y para completar o esboço.

Passo 9

Resumo geométrico do gráfico:
  • O termo \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} é a metade superior de uma esfera (hemisfério) de raio 2.
  • O termo \sqrt{1-x^{2}} é uma “cobertura” que depende só de x: é a meia-circunferência de raio 1 no plano xz estendida ao longo de y.
  • O gráfico de f é a soma dessas duas superfícies restrita ao domínio \mathcal{D}: visualmente é um hemisfério (ou porção dele) com uma crista (ridge) extra que aumenta a altura em função de x, mais pronunciada perto de x=0.

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\\\ -1\le x\le 1\}.
Valor máximo: f(0,0)=3 em (0,0).
Valor mínimo: f(\pm 1,\pm\sqrt{3})=0 nos quatro pontos (1,\pm\sqrt{3}) e (-1,\pm\sqrt{3}).

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