Considere o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\left(\ln \left(1+y^{2}\right)+2 x(y+1)\right) \mathbf{i}+\frac{x^{2} y^{2}+2 x y+x^{2}}{1+y^{2}} \mathbf{j}
e a curva \gamma(t)=\left(t, \sqrt{3 t-t^{2}-2}\right), \quad t \in[1,2]
Calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.
Escolha uma opção:
◯ 3
◯ 1
\frac{3}{4}
\ln 3
\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} com
P(x,y)=\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)+2x(y+1), \qquad Q(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}+2xy+x^{2}}{1+y^{2}}.
  • A curva parametrizada \gamma(t)=\bigl(t,\sqrt{3t-t^{2}-2}\bigr), com t\in[1,2].
O que é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A componente Q pode ser simplificada algebraicamente, pois
\frac{x^{2}y^{2}+2xy+x^{2}}{1+y^{2}}=x^{2}+\frac{2xy}{1+y^{2}}.
  • O parâmetro t varia em [1,2], e a expressão dentro da raiz é 3t-t^{2}-2=-(t^{2}-3t+2)=-(t-1)(t-2), que é não negativa em [1,2], então a parametrização é bem definida.

Passo 2

Estratégia: verificar se \mathbf{F} é um campo conservativo (tem potencial). Se for, a integral de linha ao longo de qualquer curva de A a B depende só dos extremos e vale \varphi(B)-\varphi(A), onde \varphi é potencial.
Breve aula: Para um campo no plano \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} com derivadas contínuas em um domínio simplesmente conexo, uma condição prática de ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se isso ocorrer, existe \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é, \phi_x=P e \phi_y=Q.
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{d}{dy}\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)+\frac{d}{dy}\bigl(2x(y+1)\bigr) =\frac{2y}{1+y^{2}}+2x.
  • Derivada de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{d}{dx}\!\Bigl(x^{2}+\frac{2xy}{1+y^{2}}\Bigr) =2x+\frac{2y}{1+y^{2}}.
As duas derivadas são idênticas:
\frac{\partial P}{\partial y}=2x+\frac{2y}{1+y^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Portanto \mathbf{F} é conservativo no plano (domínio é todo \mathbb{R}^{2}, já que 1+y^{2}>0), logo existe potencial \varphi.

Passo 3

Vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y). Método (aula): para achar \varphi, integramos P em relação a x (tratando y como constante) e depois determinamos a parte que falta comparando com Q.
Integração de P em x:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx =\int\Bigl(\ln(1+y^{2})+2x(y+1)\Bigr)\,dx.
Aqui \ln(1+y^{2}) é constante em relação a x, então sua integral é x\ln(1+y^{2}). A integral de 2x(y+1) em x é x^{2}(y+1). Acrescentamos uma função h(y) (constante de integração que pode depender de y):
\varphi(x,y)=x\ln\bigl(1+y^{2}\bigr)+x^{2}(y+1)+h(y).

Passo 4

Agora determinamos h(y) impondo \phi_{y}=Q. Diferenciando \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\;x\cdot\frac{2y}{1+y^{2}} \;+\; x^{2}\cdot 1 \;+\; h'(y) = \frac{2xy}{1+y^{2}}+x^{2}+h'(y).
Mas sabemos que \phi_{y} deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}+\dfrac{2xy}{1+y^{2}}. Igualando:
\frac{2xy}{1+y^{2}}+x^{2}+h'(y)=x^{2}+\frac{2xy}{1+y^{2}}.
Isso implica h'(y)=0. Logo h(y) é constante; podemos tomar essa constante igual a zero (ela cancela ao calcular diferença de potenciais). Assim:
\varphi(x,y)=x\ln\bigl(1+y^{2}\bigr)+x^{2}(y+1).

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade da integral de linha para campo conservativo: \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(\gamma(t_{2})\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(t_{1})\bigr), com t_{1}=1 e t_{2}=2.
Primeiro, achar as extremidades da curva \gamma:
\gamma(1)=\bigl(1,\sqrt{3\cdot1-1^{2}-2}\bigr)=\bigl(1,\sqrt{0}\bigr)=(1,0),
\gamma(2)=\bigl(2,\sqrt{3\cdot2-2^{2}-2}\bigr)=\bigl(2,\sqrt{0}\bigr)=(2,0).
Observação rápida (aula): a expressão sob a raiz é 3t-t^{2}-2=1/4-(t-3/2)^{2}, portanto a curva é o arco superior de um círculo de centro (3/2,0) e raio 1/2; os extremos estão em y=0 nos pontos x=1 e x=2.
Calcule \varphi nos extremos (usar que y=0 em ambos):
\varphi(x,0)=x\ln(1+0)+x^{2}(0+1)=x^{2}.
Então
\varphi\bigl(\gamma(2)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(1)\bigr)=\varphi(2,0)-\varphi(1,0)=2^{2}-1^{2}=4-1=3.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: pronto — por ter mostrado que \mathbf{F} é conservativo e encontrado a potencial, a integral de linha ficou fácil — basta avaliar a potencial nos pontos finais. Isso é um truque muito útil em prova: sempre que possível verifique se o campo é conservativo para economizar cálculo paramétrico chato. Tu segurou bem até aqui!

Resposta

3

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