Considere o campo vetorial
e a curva
Calcule
.
Escolha uma opção:
◯ 3
◯ 1
◯
◯
◯
e a curva
Calcule
Escolha uma opção:
◯ 3
◯ 1
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
com
- A curva parametrizada
, com .
O que é pedido:
- Calcular a integral de linha
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A componente
pode ser simplificada algebraicamente, pois
- O parâmetro
varia em , e a expressão dentro da raiz é , que é não negativa em , então a parametrização é bem definida.
Passo 2
Estratégia: verificar se
é um campo conservativo (tem potencial). Se for, a integral de linha ao longo de qualquer curva de
a
depende só dos extremos e vale
, onde
é potencial.
Breve aula: Para um campo no plano
com derivadas contínuas em um domínio simplesmente conexo, uma condição prática de ser conservativo é
Se isso ocorrer, existe
tal que
, isto é,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
As duas derivadas são idênticas:
Portanto
é conservativo no plano (domínio é todo
, já que
), logo existe potencial
.
Passo 3
Vamos encontrar explicitamente a função potencial
. Método (aula): para achar
, integramos
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinamos a parte que falta comparando com
.
Integração de
em
:
Aqui
é constante em relação a
, então sua integral é
. A integral de
em
é
. Acrescentamos uma função
(constante de integração que pode depender de
):
Passo 4
Agora determinamos
impondo
. Diferenciando
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Isso implica
. Logo
é constante; podemos tomar essa constante igual a zero (ela cancela ao calcular diferença de potenciais). Assim:
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade da integral de linha para campo conservativo:
, com
e
.
Primeiro, achar as extremidades da curva
:
Observação rápida (aula): a expressão sob a raiz é
, portanto a curva é o arco superior de um círculo de centro
e raio
; os extremos estão em
nos pontos
e
.
Calcule
nos extremos (usar que
em ambos):
Então
Passo 6
Interpretação final e incentivo: pronto — por ter mostrado que
é conservativo e encontrado a potencial, a integral de linha ficou fácil — basta avaliar a potencial nos pontos finais. Isso é um truque muito útil em prova: sempre que possível verifique se o campo é conservativo para economizar cálculo paramétrico chato. Tu segurou bem até aqui!
Resposta
3