Esboce a região de integração e calcule as integrais.
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a região de integração e (ii) calcular a integral dupla
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin x} y\,dy\,dx.
Informações dadas explicitamente:
0\le x\le \pi,\qquad 0\le y\le \sin x.
Não há outras condições ocultas. A região é portanto o conjunto de pontos (x,y) com x entre 0 e \pi e y variando de 0 até \sin x.

Passo 2

Esboço e descrição da região de integração (como desenhar no papel):
  • A curva superior é y=\sin x para 0\le x\le \pi. Lembre que \sin x é não-negativa nesse intervalo, atinge o máximo 1 em x=\frac{\pi}{2} e tem zeros em x=0 e x=\pi.
  • A curva inferior é a reta y=0 (eixo x).
  • Portanto a região R é a "área sob a curva y=\sin x" entre x=0 e x=\pi. Em notação:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le\sin x\}.
Como desenhar (passo a passo): em um sistema de eixos, marque x=0, x=\tfrac{\pi}{2}, x=\pi; desenhe a campânula de y=\sin x entre esses pontos; sombreie a região entre a curva e o eixo x.
Observação útil para trocar a ordem de integração: para y fixo, y varia de 0 até 1 (pois \sin x\le 1), e para um dado y\in[0,1] os x que satisfazem y\le\sin x são
\arcsin(y)\le x\le \pi-\arcsin(y).
Assim também podemos escrever
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\\ \arcsin(y)\le x\le \pi-\arcsin(y)\}.

Passo 3

Calcule a integral iterando na ordem dada (primeiro em y, depois em x).
  • Regra básica: para integrar uma função f(y)=y em relação a y, usamos a primitiva F(y)=\tfrac{1}{2}y^{2}, porque a derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} é y. Isso vem do teorema fundamental do cálculo.
  • Aplicando isso ao integral interno:
\int_{0}^{\sin x} y\,dy=\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{\sin x}=\tfrac{1}{2}\sin^{2}x.
Comentário prático: se você tiver que calcular \int_{0}^{a} y\,dy, o resultado é sempre \tfrac{1}{2}a^{2}. Aqui a=\sin x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\sin^{2}x\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx.
Para integrar \sin^{2}x use a identidade trigonométrica de redução de potência
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Substituindo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx.
Calcule as duas integrais separadamente:
\int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx=\left[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi}=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(2\pi)-\sin 0\bigr)=0.
Logo
\frac{1}{4}\bigl(\pi-0\bigr)=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Verificação alternativa trocando a ordem de integração (útil na prova para checar raciocínio):
  • Trocar a ordem dá
\iint_{R} y\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=\arcsin y}^{\,\pi-\arcsin y} y\,dx\,dy.
  • Integrando em x primeiro (a integranda é constante em x):
\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} y\,dx = y\bigl(\pi-2\arcsin y\bigr).
  • Assim a integral vira
\int_{0}^{1} y\bigl(\pi-2\arcsin y\bigr)\,dy=\pi\int_{0}^{1}y\,dy-2\int_{0}^{1}y\arcsin y\,dy.
  • Calcule \int_{0}^{1}y\,dy=\tfrac{1}{2}. Para \int_{0}^{1}y\arcsin y\,dy faça a substituição y=\sin t (então t=\arcsin y, dy=\cos t\,dt, limites t:0\to\tfrac{\pi}{2}):
\int_{0}^{1}y\arcsin y\,dy=\int_{0}^{\pi/2} (\sin t)\,t\,\cos t\,dt=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t\sin(2t)\,dt.
Integre por partes \int_{0}^{\pi/2} t\sin(2t)\,dt (se u=t, dv=\sin 2t\,dt então du=dt, v=-\tfrac{1}{2}\cos 2t); o cálculo leva a
\int_{0}^{\pi/2} t\sin(2t)\,dt=\frac{\pi}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1}y\arcsin y\,dy=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.
Voltando:
\pi\cdot\frac{1}{2}-2\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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