Esboce a região de integração e calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar a região de integração e (ii) calcular a integral dupla
Informações dadas explicitamente:
Não há outras condições ocultas. A região é portanto o conjunto de pontos
com
entre
e
e
variando de
até
.
Passo 2
Esboço e descrição da região de integração (como desenhar no papel):
- A curva superior é
para . Lembre que é não-negativa nesse intervalo, atinge o máximo em e tem zeros em e . - A curva inferior é a reta
(eixo ). - Portanto a região
é a "área sob a curva " entre e . Em notação:
Como desenhar (passo a passo): em um sistema de eixos, marque
,
,
; desenhe a campânula de
entre esses pontos; sombreie a região entre a curva e o eixo
.
Observação útil para trocar a ordem de integração: para fixo,
varia de
até
(pois
), e para um dado
os
que satisfazem
são
Observação útil para trocar a ordem de integração: para
Assim também podemos escrever
Passo 3
Calcule a integral iterando na ordem dada (primeiro em
, depois em
).
- Regra básica: para integrar uma função
em relação a , usamos a primitiva , porque a derivada de é . Isso vem do teorema fundamental do cálculo. - Aplicando isso ao integral interno:
Comentário prático: se você tiver que calcular
, o resultado é sempre
. Aqui
.
Passo 4
Agora integramos em
:
Para integrar
use a identidade trigonométrica de redução de potência
Substituindo:
Calcule as duas integrais separadamente:
Logo
Passo 5
Verificação alternativa trocando a ordem de integração (útil na prova para checar raciocínio):
- Trocar a ordem dá
- Integrando em
primeiro (a integranda é constante em ):
- Assim a integral vira
- Calcule
. Para faça a substituição (então , , limites ):
Integre por partes
(se
,
então
,
); o cálculo leva a
Portanto
Voltando:
que confirma o resultado anterior.