Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
As informações dadas são a integral
As informações dadas são a integral
Dela podemos extrair imediatamente os limites usados: para a variável
temos
e, para cada
fixo,
varia entre
e
. A partir daqui vamos determinar a região e inverter a ordem.
Passo 2
Descrevendo a região
a partir dos limites: os pontos
em
satisfazem
Isto é uma descrição por desigualdades:
fica entre
e
e, para cada
,
vai da reta
até a curva
.
Passo 3
Vamos entender a curva
. Reescrevendo em forma de
como função de
obtemos
Como na região original
(os limites de
vão de
a
), só interessa a rama positiva
Geometricamente,
é uma parábola com vértice em
que abre para a esquerda; a interseção com o eixo
ocorre quando
, ou seja
. Como estamos com
, a curva vai de
até
.
Passo 4
Esboço (descrição para você desenhar rápido): desenhe os eixos
e
. Marque o ponto
e a interseção
. Trace a parábola que passa por esses pontos e tem vértice em
abrindo para a esquerda (a rama superior
). A região
é a parte entre essa curva, a reta vertical
(eixo
) e as linhas horizontais
(eixo
) e
— mais precisamente, é o conjunto de pontos à direita do eixo
, abaixo da curva
e acima da reta
. Sombreie essa região no primeiro quadrante entre
e
.
Passo 5
Para inverter a ordem de integração usamos a projeção de
no eixo
: achamos os valores mínimo e máximo de
em
. Pela descrição original,
varia entre
(quando a desigualdade
é ativa) e o máximo que ocorre quando
, que dá
. Então
.
Passo 6
Agora, para um
fixo em
, quais valores de
pertencem a
? A condição
é equivalente a
Tomando raíz (e lembrando que
na região),
Portanto, para cada
em
,
vai de
até
.
Passo 7
Escrevemos então a integral com a ordem invertida: primeiro integrar em
(com
indo de
a
) e depois em
(com
indo de
a
). A integral equivalente é
Passo 8
Uma verificação rápida (opcional, mas útil para ficar tranquilo): calculemos ambas as integrais para checar que dão o mesmo valor. Pela integral original,
Pela integral invertida,
Fazendo
dá
, mesmo resultado — perfeito!