Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
As informações dadas são a integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y^{2}} dx\,dy.
Dela podemos extrair imediatamente os limites usados: para a variável y temos 0\le y\le 2 e, para cada y fixo, x varia entre 0 e 4-y^{2}. A partir daqui vamos determinar a região e inverter a ordem.

Passo 2

Descrevendo a região R a partir dos limites: os pontos (x,y) em R satisfazem
0\le y\le 2,\qquad 0\le x\le 4-y^{2}.
Isto é uma descrição por desigualdades: y fica entre 0 e 2 e, para cada y, x vai da reta x=0 até a curva x=4-y^{2}.

Passo 3

Vamos entender a curva x=4-y^{2}. Reescrevendo em forma de y como função de x obtemos
y^{2}=4-x\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{4-x}.
Como na região original y\ge 0 (os limites de y vão de 0 a 2), só interessa a rama positiva
y=\sqrt{4-x}.
Geometricamente, x=4-y^{2} é uma parábola com vértice em (4,0) que abre para a esquerda; a interseção com o eixo x=0 ocorre quando y^{2}=4, ou seja y=\pm 2. Como estamos com y\in[0,2], a curva vai de (0,2) até (4,0).

Passo 4

Esboço (descrição para você desenhar rápido): desenhe os eixos x e y. Marque o ponto (4,0) e a interseção (0,2). Trace a parábola que passa por esses pontos e tem vértice em (4,0) abrindo para a esquerda (a rama superior y=\sqrt{4-x}). A região R é a parte entre essa curva, a reta vertical x=0 (eixo y) e as linhas horizontais y=0 (eixo x) e y=2 — mais precisamente, é o conjunto de pontos à direita do eixo x=0, abaixo da curva y=\sqrt{4-x} e acima da reta y=0. Sombreie essa região no primeiro quadrante entre x=0 e x=4.

Passo 5

Para inverter a ordem de integração usamos a projeção de R no eixo x: achamos os valores mínimo e máximo de x em R. Pela descrição original, x varia entre 0 (quando a desigualdade x\ge0 é ativa) e o máximo que ocorre quando y=0, que dá x=4. Então x\in[0,4].

Passo 6

Agora, para um x fixo em [0,4], quais valores de y pertencem a R? A condição x\le 4-y^{2} é equivalente a
y^{2}\le 4-x.
Tomando raíz (e lembrando que y\ge 0 na região),
0\le y\le \sqrt{4-x}.
Portanto, para cada x em [0,4], y vai de 0 até \sqrt{4-x}.

Passo 7

Escrevemos então a integral com a ordem invertida: primeiro integrar em y (com y indo de 0 a \sqrt{4-x}) e depois em x (com x indo de 0 a 4). A integral equivalente é
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-x}} dy\,dx.

Passo 8

Uma verificação rápida (opcional, mas útil para ficar tranquilo): calculemos ambas as integrais para checar que dão o mesmo valor. Pela integral original,
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y^{2}} dx\,dy=\int_{0}^{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy=\Bigl[4y-\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2}=8-\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3}.
Pela integral invertida,
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-x}} dy\,dx=\int_{0}^{4}\sqrt{4-x}\,dx.
Fazendo u=4-x \int_{0}^{4}\sqrt{u}\,du=(2/3)u^{3/2}\big|_{0}^{4}=(2/3)\cdot 8=\tfrac{16}{3}, mesmo resultado — perfeito!

Resposta

\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-x}} dy\,dx

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