Esboce a região de integração e calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral
Informações dadas:
- Os limites são
e . - O integrando é
. - A ordem de integração é primeiro em
(interna) e depois em (externa).
Passo 2
Entendendo a região de integração (esboço):
- Em coordenadas polares temos
e . - O intervalo
corresponde a todas as direções do semi-plano superior (ou seja, ângulos do eixo positivo passando por cima até o eixo negativo ); portanto . - O intervalo
diz que a distância do ponto à origem vai de até .
Logo a região é o semicírculo de raiocentrado na origem, incluindo a borda: .
Para esboçar: desenhe um círculo de raiocentrado na origem e destaque a metade superior (diâmetro no eixo de a ).
Passo 3
Preparando o cálculo: vamos primeiro integrar em
. Observe que a parte dependente de
é
. Uma identidade útil (fórmula do ângulo duplo) é
da qual segue
Essa identidade é padrão e facilita a integração de
.
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Agora avalie cada termo:
Portanto
Passo 5
Substitua o resultado da integral interna e integre em
:
Calcule a integral em
:
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