Esboce a região de integração e calcule as integrais.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} r \sin ^{2} \theta d \theta d r

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi} r \sin^{2}\theta \, d\theta \, dr.
Informações dadas:
  • Os limites são \theta\in[0,\pi] e r\in[0,2].
  • O integrando é r\sin^{2}\theta.
  • A ordem de integração é primeiro em \theta (interna) e depois em r (externa).

Passo 2

Entendendo a região de integração (esboço):
  • Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • O intervalo \theta\in[0,\pi] corresponde a todas as direções do semi-plano superior (ou seja, ângulos do eixo positivo x passando por cima até o eixo negativo x); portanto y\ge 0.
  • O intervalo r\in[0,2] diz que a distância do ponto à origem vai de 0 até 2.
    Logo a região é o semicírculo de raio 2 centrado na origem, incluindo a borda: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\ge 0\}.
    Para esboçar: desenhe um círculo de raio 2 centrado na origem e destaque a metade superior (diâmetro no eixo x de -2 a 2).

Passo 3

Preparando o cálculo: vamos primeiro integrar em \theta. Observe que a parte dependente de \theta é \sin^{2}\theta. Uma identidade útil (fórmula do ângulo duplo) é
\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta,
da qual segue
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}.
Essa identidade é padrão e facilita a integração de \sin^{2}\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em \theta:
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1\, d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos 2\theta \, d\theta.
Agora avalie cada termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} 1\, d\theta = \frac{1}{2}\cdot \pi = \frac{\pi}{2},
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4}(\sin 2\pi - \sin 0)=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta \, d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substitua o resultado da integral interna e integre em r:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi} r\sin^{2}\theta \, d\theta \, dr = \int_{0}^{2} r\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta \, d\theta\right) dr = \int_{0}^{2} r\left(\frac{\pi}{2}\right) dr = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{2} r \, dr.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r \, dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{4}{2}=2.
Logo
\frac{\pi}{2}\cdot 2 = \pi.

Resposta

\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; y\ge 0\}
\pi

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