Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}}(x+y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
A variável externa é x variando em 0\le x\le2.
Para cada x fixo, a variável interna y varia em 0\le y\le 4-x^{2}.
O integrando é x+y.
Passo 2
Entender e esboçar a região de integração (passo a passo):
A cota superior para y é a curva y=4-x^{2}, que é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,4) e que corta o eixo x em x=\pm2 porque 4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm2.
A cota inferior para y é a reta y=0 (eixo x).
O intervalo para x é 0\le x\le2, ou seja, consideramos apenas a metade direita da parábola, do eixo y até x=2.
Descrição do esboço (como desenhar na prova):
Desenhar a parábola y=4-x^{2} (vértice em (0,4), interceptos em (-2,0) e (2,0)).
Traçar a linha horizontal y=0.
Marcar os limites verticais x=0 (eixo y) e x=2.
A região é a parte da parábola acima de y=0, para 0\le x\le2: uma “fatia” no primeiro quadrante sob a parábola entre x=0 e x=2.
Passo 3
Planejar a integração (o que vamos calcular):
Como a ordem dada é dy depois dx, calculamos primeiro a integral interna em y com x tratado como constante:
\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy.
Vamos aplicar a regra básica de integração termo a termo: \int (x)\,dy = x y (porque x é constante em relação a y) e \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Passo 4
Calcular a integral interna e simplificar a expressão resultante:
\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy = \left[ x y + \dfrac{y^{2}}{2} \right]_{y=0}^{y=4-x^{2}} = x(4-x^{2}) + \dfrac{(4-x^{2})^{2}}{2}.