Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}}(x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x variando em 0\le x\le2.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia em 0\le y\le 4-x^{2}.
  • O integrando é x+y.

Passo 2

Entender e esboçar a região de integração (passo a passo):
  • A cota superior para y é a curva y=4-x^{2}, que é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,4) e que corta o eixo x em x=\pm2 porque 4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm2.
  • A cota inferior para y é a reta y=0 (eixo x).
  • O intervalo para x é 0\le x\le2, ou seja, consideramos apenas a metade direita da parábola, do eixo y até x=2.
Descrição do esboço (como desenhar na prova):
  • Desenhar a parábola y=4-x^{2} (vértice em (0,4), interceptos em (-2,0) e (2,0)).
  • Traçar a linha horizontal y=0.
  • Marcar os limites verticais x=0 (eixo y) e x=2.
  • A região é a parte da parábola acima de y=0, para 0\le x\le2: uma “fatia” no primeiro quadrante sob a parábola entre x=0 e x=2.

Passo 3

Planejar a integração (o que vamos calcular):
  • Como a ordem dada é dy depois dx, calculamos primeiro a integral interna em y com x tratado como constante:
\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy.
  • Vamos aplicar a regra básica de integração termo a termo: \int (x)\,dy = x y (porque x é constante em relação a y) e \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 4

Calcular a integral interna e simplificar a expressão resultante:
\int_{0}^{4-x^{2}}(x+y)\,dy = \left[ x y + \dfrac{y^{2}}{2} \right]_{y=0}^{y=4-x^{2}} = x(4-x^{2}) + \dfrac{(4-x^{2})^{2}}{2}.
Agora expandir e simplificar passo a passo:
x(4-x^{2})=4x-x^{3},
(4-x^{2})^{2}=16-8x^{2}+x^{4},
\dfrac{(4-x^{2})^{2}}{2}=8-4x^{2}+\dfrac{x^{4}}{2}.
Somando:
4x-x^{3}+8-4x^{2}+\dfrac{x^{4}}{2}=8+4x-4x^{2}-x^{3}+\dfrac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Integrar a expressão resultante em x de 0 a 2 termo a termo:
\int_{0}^{2}\left(8+4x-4x^{2}-x^{3}+\dfrac{x^{4}}{2}\right)dx.
Calcular antiderivadas:
\int 8\,dx = 8x,
\int 4x\,dx = 2x^{2},
\int -4x^{2}\,dx = -\dfrac{4x^{3}}{3},
\int -x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4},
\int \dfrac{x^{4}}{2}\,dx = \dfrac{x^{5}}{10}.
Portanto
\int_{0}^{2}\left(8+4x-4x^{2}-x^{3}+\dfrac{x^{4}}{2}\right)dx = \left[8x+2x^{2}-\dfrac{4x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{5}}{10}\right]_{0}^{2}.

Passo 6

Avaliar no limite superior x=2 (o termo em 0 é zero):
Calcular cada parcela em x=2:
8x\big|_{2}=16,
2x^{2}\big|_{2}=2\cdot4=8,
-\dfrac{4x^{3}}{3}\big|_{2}=-\dfrac{4\cdot8}{3}=-\dfrac{32}{3},
-\dfrac{x^{4}}{4}\big|_{2}=-\dfrac{16}{4}=-4,
\dfrac{x^{5}}{10}\big|_{2}=\dfrac{32}{10}=\dfrac{16}{5}.
Somar as parcelas:
16+8-\dfrac{32}{3}-4+\dfrac{16}{5}.
Primeiro somar os termos inteiros: 16+8-4=20. Então
20-\dfrac{32}{3}+\dfrac{16}{5}.
Colocar em denominador comum 15:
20=\dfrac{300}{15},\quad \dfrac{32}{3}=\dfrac{160}{15},\quad \dfrac{16}{5}=\dfrac{48}{15}.
Logo
\dfrac{300}{15}-\dfrac{160}{15}+\dfrac{48}{15}=\dfrac{188}{15}.

Resposta

Região: a parte do primeiro quadrante limitada por y=0, y=4-x^{2} e 0\le x\le2.
Valor da integral: \dfrac{188}{15}

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