Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Esboçar a região de integração.
  2. Calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1} y\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x nessa faixa, a variável interna y varia de y=x^{2} até y=1.
  • O integrando é y.

Passo 2

Esboço e descrição geométrica da região.
  • A curva y=x^{2} é uma parábola com vértice em (0,0) que abre para cima.
  • A outra fronteira é a reta horizontal y=1.
  • Como x vai de 0 a 1, consideramos apenas a parte da parábola entre x=0 e x=1.
A região R é o conjunto de pontos (x,y) entre a parábola e a reta, com x entre 0 e 1: é a “faixa” vertical situada acima de y=x^{2} e abaixo de y=1, para 0\le x\le1. No papel: desenhe eixos x,y, trace y=x^{2} e a linha y=1, e sombreie a região entre elas para 0\le x\le1.

Passo 3

Expressar a região em notação de conjuntos e preparar troca de ordem (se quisermos):
Pela descrição vertical original:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x^{2}\le y\le1\}.
Se quisermos trocar a ordem de integração (integrar primeiro em x), precisamos escrever os limites em função de y. Para um dado y com 0\le y\le1, a condição x^{2}\le y e x\ge0 0\le x\le\sqrt{y}. Assim:
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; 0\le x\le\sqrt{y}\}.

Passo 4

Integração na ordem dada (primeiro em y, depois em x). Primeiro calcule a integral interna
\int_{x^{2}}^{1} y\,dy.
Lembrete rápido: a primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}, porque a regra é \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}. Aplicando os limites:
\int_{x^{2}}^{1} y\,dy=\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=1} =\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(x^{2})^{2}}{2} =\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x no intervalo 0\le x\le1:
\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^{4}}{2}\right)dx =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(1-x^{4}\right)dx.
Calcule a primitiva de 1-x^{4}: é x-\dfrac{x^{5}}{5}. Portanto
\dfrac{1}{2}\left[x-\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{5}\right) =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5} =\dfrac{2}{5}.

Passo 6

Verificação trocando a ordem de integração (opcional, mas útil para entender):
Escrevendo como integral em y externa:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}} y\,dx\,dy.
Integrando primeiro em x:
\int_{0}^{\sqrt{y}} y\,dx = y\cdot\left[\;x\;\right]_{0}^{\sqrt{y}} = y\sqrt{y}=y^{3/2}.
Agora integrar em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y^{3/2} dy = \left[\dfrac{2}{5} y^{5/2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{2}{5}.
O mesmo resultado, confirmação.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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