Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região de integração.
- Calcular a integral
Informações dadas:
- A variável externa é
com . - Para cada
nessa faixa, a variável interna varia de até . - O integrando é
.
Passo 2
Esboço e descrição geométrica da região.
- A curva
é uma parábola com vértice em que abre para cima. - A outra fronteira é a reta horizontal
. - Como
vai de a , consideramos apenas a parte da parábola entre e .
A região
é o conjunto de pontos
entre a parábola e a reta, com
entre
e
: é a “faixa” vertical situada acima de
e abaixo de
, para
. No papel: desenhe eixos
, trace
e a linha
, e sombreie a região entre elas para
.
Passo 3
Expressar a região em notação de conjuntos e preparar troca de ordem (se quisermos):
Pela descrição vertical original:
Se quisermos trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
), precisamos escrever os limites em função de
. Para um dado
com
, a condição
e
dá
. Assim:
Passo 4
Integração na ordem dada (primeiro em
, depois em
). Primeiro calcule a integral interna
Lembrete rápido: a primitiva de
em relação a
é
, porque a regra é
. Aplicando os limites:
Passo 5
Agora integramos em
no intervalo
:
Calcule a primitiva de
: é
. Portanto
Passo 6
Verificação trocando a ordem de integração (opcional, mas útil para entender):
Escrevendo como integral em
externa:
Integrando primeiro em
:
Agora integrar em
de
a
:
O mesmo resultado, confirmação.