Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} (x+y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • As variáveis variam conforme os limites da integral interna e externa;
  • Limites externos: x vai de 0 até 2;
  • Limites internos: para cada x, y vai de 0 até x.

Passo 2

Descrevendo a região de integração em termos de desigualdades:
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le x.
As curvas/segmentos que limitam a região são:
  • a reta y=0 (eixo x);
  • a reta y=x;
  • a reta vertical x=2.
    Os vértices do triângulo formado são (0,0), (2,0) e (2,2).

Passo 3

Como esboçar a região (passo a passo para desenhar no caderno):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a reta y=x (linha com 45º passando pela origem).
  3. Marque a linha vertical x=2.
  4. A região pedida é o triângulo delimitado por y=0, y=x e x=2: para cada x entre 0 e 2 tome os pontos y entre 0 e x. Sombras essa região (triângulo à direita da origem sob a reta y=x até x=2).

Passo 4

Agora calculamos a integral iterada seguindo a ordem dada: primeiro integrar em y mantendo x fixo. Escrevendo a integral interna:
\int_{0}^{x} (x+y)\,dy.
Aqui x é uma constante em relação à integração em y. Vamos separar a integral em duas parcelas:
\int_{0}^{x} x\,dy + \int_{0}^{x} y\,dy.

Passo 5

Calcule cada parcela:
  • Para \int_{0}^{x} x\,dy: como x é constante, o resultado é x\cdot y avaliado de y=0 a y=x. Logo
\int_{0}^{x} x\,dy = x\cdot y\Big|_{0}^{x} = x\cdot x - x\cdot 0 = x^{2}.
  • Para \int_{0}^{x} y\,dy: a primitiv a de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Assim
\int_{0}^{x} y\,dy = \frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2} - 0 = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtemos o resultado da integral interna:
\int_{0}^{x} (x+y)\,dy = x^{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}\,x^{2}.

Passo 7

Agora fazemos a integral externa em x:
\int_{0}^{2} \frac{3}{2}\,x^{2}\,dx.
Use a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicando:
\int \frac{3}{2}x^{2}dx = \frac{3}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{1}{2}x^{3}.

Passo 8

Avalie a primitiva entre 0 e 2:
\frac{1}{2}x^{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2^{3} - \frac{1}{2}\cdot 0^{3} = \frac{1}{2}\cdot 8 = 4.
Portanto o valor da integral é 4.

Passo 9

Para checar (opcional): se trocássemos a ordem de integração, a região pode ser descrita como 0\le y\le 2 e y\le x\le 2. A integral pela ordem dx\,dy seria
\int_{0}^{2}\int_{y}^{2} (x+y)\,dx\,dy,
fazendo as contas dá o mesmo resultado 4. Isso confirma o cálculo.

Resposta

4

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