Esboce a regiāo de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(x+y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} (x+y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
As variáveis variam conforme os limites da integral interna e externa;
Limites externos: x vai de 0 até 2;
Limites internos: para cada x, y vai de 0 até x.
Passo 2
Descrevendo a região de integração em termos de desigualdades:
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le x.
As curvas/segmentos que limitam a região são:
a reta y=0 (eixo x);
a reta y=x;
a reta vertical x=2.
Os vértices do triângulo formado são (0,0), (2,0) e (2,2).
Passo 3
Como esboçar a região (passo a passo para desenhar no caderno):
Desenhe os eixos x e y.
Trace a reta y=x (linha com 45º passando pela origem).
Marque a linha vertical x=2.
A região pedida é o triângulo delimitado por y=0, y=x e x=2: para cada x entre 0 e 2 tome os pontos y entre 0 e x. Sombras essa região (triângulo à direita da origem sob a reta y=x até x=2).
Passo 4
Agora calculamos a integral iterada seguindo a ordem dada: primeiro integrar em y mantendo x fixo. Escrevendo a integral interna:
\int_{0}^{x} (x+y)\,dy.
Aqui x é uma constante em relação à integração em y. Vamos separar a integral em duas parcelas:
\int_{0}^{x} x\,dy + \int_{0}^{x} y\,dy.
Passo 5
Calcule cada parcela:
Para \int_{0}^{x} x\,dy: como x é constante, o resultado é x\cdot y avaliado de y=0 a y=x. Logo
Para checar (opcional): se trocássemos a ordem de integração, a região pode ser descrita como 0\le y\le 2 e y\le x\le 2. A integral pela ordem dx\,dy seria
\int_{0}^{2}\int_{y}^{2} (x+y)\,dx\,dy,
fazendo as contas dá o mesmo resultado 4. Isso confirma o cálculo.