Esboce a regiâo de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integraçảo invertida: integral0^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 6 x d y d x

Passo 1

Temos a integral integral0^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 6x ,dy,dx. O conteúdo aqui é troca da ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar esboçar a região D e encontrar os novos limites projetando-a nos eixos.

Passo 2

A região D vem de 0<= x<=2 e -raiz4-x^2<= y<=raiz4-x^2. Isso é exatamente a meia-disca de raio 2 centrada na origem, apenas para x>=0. Em outras palavras, (D={(x,y):x2+y2\le4,,x\ge0}.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Como a meia-disca vai de y=-2 até y=2, temos -2<= y<=2. Para um valor fixo de y, x varia da borda esquerda até a borda direita da meia-disca, ou seja, de x=0 até x=raiz4-y^2.

Passo 4

Assim, a integral com ordem invertida fica integraly=-2^2integralx=0^raiz4-y^26x,dx,dy.

Resposta

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