Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral: integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos esboçar a região de integração de integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy, inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral. O conteúdo envolvido é mudança de ordem em integrais duplas e técnicas de integração.

Passo 2

Esboço da região D: como y varia de 0 a 1 e x de y a 1, a região é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).
Determinação dos novos limites: projetando D no eixo x, temos x de 0 a 1 e, para cada x, o y varia de 0 até x.

Passo 3

Reescrevemos a integral trocando a ordem:
integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy = integral0^1integral0^x x^2e^xy,dy,dx

Passo 4

Cálculo da integral interna em y:
integral0^x x^2e^xy,dy = x^2integral0^x e^xy,dy
Fazendo u=xy, temos du = x,dy, logo
x^2integral0^x e^xy,dy = x^2cdot1xl[e^xyr]y=0^y=x = xl(e^x^2 - 1r)

Passo 5

Cálculo da integral externa em x e conclusão:
integral0^1 xl(e^x^2 - 1r),dx = integral0^1 x e^x^2,dx - integral0^1 x,dx
Para integral0^1 x e^x^2,dx, use u=x^2, obtendo tfrac12(e-1). E integral0^1 x,dx = tfrac12. Assim o valor final é tfrac12(e-1) - tfrac12 = tfrace-22

Resposta

tfrace-22

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