Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral: integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
0 <= y <= 2raizln 3 e tfrac y2 <= x <= raizln 3, inverter a ordem de integração e calcular
I=integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 ,dx,dy
Aqui o conteúdo é integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Para entender a região D, note que as fronteiras são:
  • reta inferior: y=0;
  • reta superior: y=2raizln 3;
  • curva vertical à direita: x=raizln 3;
  • reta x=tfrac y2, ou equivalente y=2x.
    No plano (x,y), é um trapézio limitado por y=0, y=2x e x=raizln3.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que x varia desde o menor ponto em D, que é x=0 (quando y=0), até x=raizln3. Para cada x fixo, y vai de y=0 até a reta y=2x. Logo os limites invertidos são
0 <= x <= raizln3, 0 <= y <= 2x

Passo 4

A integral com a ordem invertida fica
I=integralx=0^raizln3 integraly=0^2x e^x^2 ,dy,dx
Como e^x^2 não depende de y, ao integrar em y obtemos
I=integral0^raizln3 e^x^2 l[yr]0^2x ,dx=integral0^raizln3 2x,e^x^2 ,dx

Passo 5

Para calcular integral0^raizln32x,e^x^2,dx, fazemos a substituição u=x^2, então du=2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=raizln3, u=ln3. Assim
integral0^raizln32x,e^x^2,dx=integral0^ln3e^u,du=l[e^ur]0^ln3=e^ln3-e^0=3-1=2

Resposta

2

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