Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{3 / 2} \int_{-\sqrt{9-4 y{2}}}{\sqrt{9-4 y^{2}}} y d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=\int_{y=0}^{3/2}\int_{x=-\sqrt{9-4y^{2}}}^{\sqrt{9-4y^{2}}}y\;dx\;dy
e pede (a) esboçar a região de integração, (b) inverter a ordem de integração e (c) avaliar ambas as integrais. O conteúdo envolve troca de ordem em integrais iteradas e cálculo por substituição.

Passo 2

A fronteira vem de
x^{2}+4y^{2}=9,
que é uma elipse com semi-eixo em x igual a 3 e em y igual a 3/2. Como y varia de 0 a 3/2, temos a “metade superior” dessa elipse. Logo, ao inverter a ordem, x vai de -3 a 3 e, para cada x, y vai do eixo até a curva:
0\le y\le\frac{1}{2}\sqrt{9 - x^{2}}.
A integral com ordem invertida fica
I=\int_{x=-3}^{3}\int_{y=0}^{\tfrac12\sqrt{9 - x^{2}}}y\;dy\;dx.

Passo 3

Avaliação na ordem original:
I=\int_{0}^{3/2}\Bigl[\int_{-\sqrt{9-4y^{2}}}^{\sqrt{9-4y^{2}}}y\;dx\Bigr]dy =\int_{0}^{3/2}2y\sqrt{9-4y^{2}}\;dy.
Fazendo u=9-4y^{2}, du=-8y\,dy, obtemos
I=\int_{0}^{3/2}2y\sqrt{9-4y^{2}}\,dy =-\tfrac{1}{4}\int_{u=9}^{0}u^{1/2}du =\tfrac{1}{4}\int_{0}^{9}u^{1/2}du =\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{9} =\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot27 =\tfrac{9}{2}.

Passo 4

Avaliação na ordem invertida:
I=\int_{-3}^{3}\Bigl[\int_{0}^{\tfrac12\sqrt{9 - x^{2}}}y\;dy\Bigr]dx =\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac12\sqrt{9 - x^{2}}\Bigr)^{2}dx =\int_{-3}^{3}\frac{9 - x^{2}}{8}\;dx.
Como
\int_{-3}^{3}(9 - x^{2})\,dx =9\cdot6 - \int_{-3}^{3}x^{2}\,dx =54 - 18 =36,
segue
I=\frac{1}{8}\cdot36=\frac{9}{2}.

Resposta

Em ambas as ordens de integração I=9/2. A integral invertida é
\int_{x=-3}^{3}\int_{y=0}^{\tfrac12\sqrt{9 - x^{2}}}y\;dy\;dx.

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