Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral: integral0^3 integralraizx / 3^1 e^y^3 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração, trocar a ordem de integração de uma integral dupla e depois apresentá-la e calculá-la. O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em duplas integrais e aplicação de substituição em integrais.

Passo 2

A região D está dada por 0 ≤ x ≤ 3 e raizx/3 ≤ y ≤ 1. No plano xy, ela fica entre a reta x=0, a reta y=1 e a curva y=raizx/3, que é equivalente a x=3y^2.
Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 1 (porque em x=0 temos y=0, e no extremo superior y=1) e, para cada y nesse intervalo, o x vai de 0 até a curva x=3y^2. Assim obtemos 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 3y^2.

Passo 3

A integral original
integral0^3integralraizx/3^1e^y^3,dy,dx,
trocando a ordem vira
integral0^1integral0^3y^2e^y^3,dx,dy

Passo 4

Como o integrando e^y^3 não depende de x, a integral interna é
integral0^3y^2e^y^3,dx = e^y^3l[xr]0^3y^2 = 3y^2e^y^3

Passo 5

Portanto a integral reduz a
integral0^13y^2e^y^3,dy
Fazendo a substituição u=y^3, temos du=3y^2dy e os limites vão de u(0)=0 a u(1)=1, ficando
integral0^1e^u,du = e^ul]0^1 = e - 1

Resposta

e - 1

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