Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração, trocar a ordem de integração de uma integral dupla e depois apresentá-la e calculá-la. O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em duplas integrais e aplicação de substituição em integrais.
Passo 2
A região D está dada por 0 ≤ x ≤ 3 e
. No plano xy, ela fica entre a reta x=0, a reta y=1 e a curva
, que é equivalente a
.
Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 1 (porque em x=0 temos y=0, e no extremo superior y=1) e, para cada y nesse intervalo, o x vai de 0 até a curva . Assim obtemos 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 3y^2.
Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 1 (porque em x=0 temos y=0, e no extremo superior y=1) e, para cada y nesse intervalo, o x vai de 0 até a curva
Passo 3
A integral original
trocando a ordem vira
Passo 4
Como o integrando
não depende de x, a integral interna é
Passo 5
Portanto a integral reduz a
Fazendo a substituição