Esboce a regiâo de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integraçảo invertida: integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Temos a integral dada integral0^1 integral2^4-2x dy,dx. O conteúdo é mudança de ordem de integração em uma integral dupla e precisamos esboçar a região de integração R no plano (x,y) e depois reescrever a integral invertendo a ordem de integração.

Passo 2

A região R é descrita por
0 <= x <= 1,
2 <= y <= 4 - 2x
As curvas que limitam R são:
– Linha vertical x=0 de y=2 a y=4.
– Linha vertical x=1 em y=2.
– Segmento horizontal y=2 de x=0 a x=1.
– Reta y=4-2x de (0,4) a (1,2).
Isso forma um triângulo no plano.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. O menor valor de y é 2 e o maior é 4, logo
2 <= y <= 4
Para um dado y neste intervalo, x varia desde a borda esquerda x=0 até a reta y=4-2x, que isolada dá
x=4-y2
Portanto
0 <= x <= 4-y2

Passo 4

Substituindo esses limites na integral, obtemos a integral com ordem invertida:
integral2^4 integral0^4-y2 dx,dy

Resposta

integral2^4 integral0^4-y2 dx,dy

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