Considere o triângulo de vértices A=(-4,2,-3), B=(2,-1,-4) e C=(-4,-4,-1). Determine o menor ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é 1 / raiz3, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 rad ou 54,74^circ. Se utizarmos o valor aproximado 1 / raiz3 approx 0,577 obtemos 0,956 rad ou 54,76^circ. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.

Passo 1

Então, temos um triângulo com vértices nas coordenadas A=(-4,2,-3), B=(2,-1,-4) e C=(-4,-4,-1). Nosso objetivo aqui é encontrar o menor ângulo interno desse triângulo, que é o ângulo em graus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores no espaço tridimensional. Precisaremos calcular os vetores que formam os lados do triângulo, seus comprimentos e, por fim, aplicar a fórmula do cosseno para encontrar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos.
  • Vetor AB = B - A = (2 - (-4),; -1 - 2,; -4 - (-3)) = (6,; -3,; -1)
  • Vetor AC = C - A = (-4 - (-4),; -4 - 2,; -1 - (-3)) = (0,; -6,; 2)
  • Vetor BC = C - B = (-4 - 2,; -4 - (-1),; -1 - (-4)) = (-6,; -3,; 3)

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento de cada lado usando a fórmula da magnitude de um vetor em 3D:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
  • Comprimento AB:
|AB| = raiz6^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz36 + 9 + 1 = raiz46
  • Comprimento AC:
|AC| = raiz0^2 + (-6)^2 + 2^2 = raiz0 + 36 + 4 = raiz40 = 2raiz10
  • Comprimento BC:
|BC| = raiz(-6)^2 + (-3)^2 + 3^2 = raiz36 + 9 + 9 = raiz54 = 3raiz6

Passo 4

Com os comprimentos dos lados, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos internos. A fórmula é:
cos(theta) = b^2 + c^2 - a^22bc
Onde:
  • a, b, c são os comprimentos dos lados, e
  • theta é o ângulo oposto ao lado a.
Vamos calcular os três ângulos:
  1. Ângulo em A:
cos(A) = |AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^22 cdot |AB| cdot |AC| = 46 + 40 - 542 cdot raiz46 cdot 2raiz10 = 324raiz460 = 8raiz460 approx 0,373
Calculando o ângulo:
A approx arccos(0,373) approx 67,93^circ
  1. Ângulo em B:
cos(B) = |AB|^2 + |BC|^2 - |AC|^22 cdot |AB| cdot |BC| = 46 + 54 - 402 cdot raiz46 cdot 3raiz6 = 606raiz276 = 10raiz276 approx 0,603
Calculando o ângulo:
B approx arccos(0,603) approx 52,38^circ
  1. Ângulo em C:
cos(C) = |AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^22 cdot |AC| cdot |BC| = 40 + 54 - 462 cdot 2raiz10 cdot 3raiz6 = 4812raiz60 = 4raiz60 approx 0,516
Calculando o ângulo:
C approx arccos(0,516) approx 58,28^circ

Resposta

O menor ângulo interno do triângulo ABC é aproximadamente 52,4^circ.

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