Considere o triângulo de vértices
e
. Determine o menor ângulo interno do triângulo
em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é
, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 rad ou
. Se utizarmos o valor aproximado
obtemos 0,956 rad ou
. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é
Passo 1
Então, temos um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar o menor ângulo interno desse triângulo, que é o ângulo em graus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores no espaço tridimensional. Precisaremos calcular os vetores que formam os lados do triângulo, seus comprimentos e, por fim, aplicar a fórmula do cosseno para encontrar os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos.
- Vetor
- Vetor
- Vetor
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento de cada lado usando a fórmula da magnitude de um vetor em 3D:
- Comprimento
:
- Comprimento
:
- Comprimento
:
Passo 4
Com os comprimentos dos lados, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos internos. A fórmula é:
Onde:
-
, , são os comprimentos dos lados, e -
é o ângulo oposto ao lado .
Vamos calcular os três ângulos:
- Ângulo em A:
Calculando o ângulo:
- Ângulo em B:
Calculando o ângulo:
- Ângulo em C:
Calculando o ângulo:
Resposta
O menor ângulo interno do triângulo
é aproximadamente
.