Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a nova integral.
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla
As tarefas pedidas são:
- Esboçar a região de integração.
- Inverter a ordem de integração (escrever a integral com
trocada para ou vice-versa, conforme necessário). - Calcular a nova integral (o valor numérico).
Informações relevantes dadas pelos limites:
-
varia de até . - Para cada
fixo, varia de até .
Passo 2
Entender a região
descrita pelos limites. Traduzindo as desigualdades dos limites:
-
. -
.
Reescrevendo
como
. Assim a região
é dada por
o que é equivalente a
Pontos-chave (vértices) da região
:
- Quando
e obtém-se . - Quando
e obtém-se . - Interseção da reta
com dá , ponto .
Portanto
é um triângulo com vértices
,
e
. (Esse é o esboço-descrição pedido.)
Passo 3
Agora inverter a ordem de integração. Já deduzi que, para um
fixo dentro da região,
varia entre o mínimo e o máximo:
- menor
em é (ocorre na aresta ), - maior
em é .
Para esse
fixo os
possíveis vão de
até a reta
. Logo os limites na ordem
(ou seja, integrar primeiro em
, depois em
) ficam:
Logo a integral com ordem invertida é
Passo 4
Calcular a integral com a ordem invertida. Observação importante: a função integrada é
, que não tem primitiva elementar em
. Mas como agora vamos integrar primeiro em
e a integranda não depende de
, a integração interna fica simples.
Integral interna (em
):
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 5
Resolver a integral em
. Usar a substituição padrão para integrais do tipo
.
Fazer a substituição
. Então
. Quando
temos
. Quando
temos
.
A integral transforma-se em
Calcule
e
. Portanto o valor é
.
Resposta
A região é o triângulo com vértices
,
e
.