Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a nova integral.
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}}\, d x\, d y.
As tarefas pedidas são:
  • Esboçar a região de integração.
  • Inverter a ordem de integração (escrever a integral com d y\, d x trocada para d x\, d y ou vice-versa, conforme necessário).
  • Calcular a nova integral (o valor numérico).
Informações relevantes dadas pelos limites:
  • y varia de 0 até 2\sqrt{\ln 3}.
  • Para cada y fixo, x varia de \dfrac{y}{2} até \sqrt{\ln 3}.

Passo 2

Entender a região R descrita pelos limites. Traduzindo as desigualdades dos limites:
  • 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3}.
  • \dfrac{y}{2} \le x \le \sqrt{\ln 3}.
Reescrevendo \dfrac{y}{2} \le x como y \le 2x. Assim a região R é dada por
\{(x,y)\mid 0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3},\\ \dfrac{y}{2}\le x\le \sqrt{\ln 3}\}
o que é equivalente a
\{(x,y)\mid 0\le x\le \sqrt{\ln 3},\\\ 0\le y\le 2x\}.
Pontos-chave (vértices) da região R:
  • Quando y=0 e x=\dfrac{y}{2}=0 obtém-se (0,0).
  • Quando x=\sqrt{\ln 3} e y=0 obtém-se \big(\sqrt{\ln 3},0\big).
  • Interseção da reta x=\sqrt{\ln 3} com y=2x y=2\sqrt{\ln 3}, ponto \big(\sqrt{\ln 3},2\sqrt{\ln 3}\big).
Portanto R é um triângulo com vértices (0,0), \big(\sqrt{\ln 3},0\big) e \big(\sqrt{\ln 3},2\sqrt{\ln 3}\big). (Esse é o esboço-descrição pedido.)

Passo 3

Agora inverter a ordem de integração. Já deduzi que, para um x fixo dentro da região, x varia entre o mínimo e o máximo:
  • menor x em R é 0 (ocorre na aresta y=0),
  • maior x em R é \sqrt{\ln 3}.
Para esse x fixo os y possíveis vão de y=0 até a reta y=2x. Logo os limites na ordem d y\, d x (ou seja, integrar primeiro em y, depois em x) ficam:
0\le x\le \sqrt{\ln 3},\qquad 0\le y\le 2x.
Logo a integral com ordem invertida é
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\, d y\, d x.

Passo 4

Calcular a integral com a ordem invertida. Observação importante: a função integrada é e^{x^{2}}, que não tem primitiva elementar em x. Mas como agora vamos integrar primeiro em y e a integranda não depende de y, a integração interna fica simples.
Integral interna (em y):
\int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\, d y = e^{x^{2}}\cdot\Big[y\Big]_{0}^{2x} = e^{x^{2}}\cdot (2x-0)=2x e^{x^{2}}.
Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} 2x e^{x^{2}}\, d x.

Passo 5

Resolver a integral em x. Usar a substituição padrão para integrais do tipo x e^{x^{2}}.
Fazer a substituição \,u=x^{2}. Então \,du=2x\,dx. Quando x=0 temos u=0. Quando x=\sqrt{\ln 3} temos u=(\sqrt{\ln 3})^{2}=\ln 3.
A integral transforma-se em
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} 2x e^{x^{2}}\, d x = \int_{0}^{\ln 3} e^{u}\, d u = \big[e^{u}\big]_{0}^{\ln 3} = e^{\ln 3}-e^{0}.
Calcule e^{\ln 3}=3 e e^{0}=1. Portanto o valor é 3-1=2.

Resposta

A região é o triângulo com vértices (0,0), \big(\sqrt{\ln 3},0\big) e \big(\sqrt{\ln 3},2\sqrt{\ln 3}\big).
\int_{0}^{\sqrt{\ln 3}} \int_{0}^{2x} e^{x^{2}}\, d y\, d x
2

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