Calcule a integral dupla sobre a região R dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região
e fornece os limites da região. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- A integral a calcular é
- A região
é o retângulo com limites: -
, -
.
-
Pergunta: determinar o valor numérico de
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem cálculos ainda): como
é um retângulo e a função
pode ser escrita como produto de uma função só de
e outra só de
, isto é
podemos usar integração iterada (Teorema de Fubini) e separar a integral dupla em produto de integrais simples. Em palavras: sobre um retângulo, se a função f(x,y)=g(x)h(y), então
Vou aplicar essa propriedade com
e
.
Passo 3
Escrever a integral como produto de integrais unidimensionais usando a separação:
Aqui foi usada a propriedade de que a integral interna em
resulta em uma função de
que pode sair da integral em
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
- Antiderivada de
é , porque . - Então
Agora avaliar os expoentes em termos simples:
Portanto
Passo 5
Substituir o resultado da integral em
na integral em
:
Passo 6
Calcular a integral em
:
- Antiderivada de
é . - Então
Usando
e
, obtemos
Logo,
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): se integrássemos primeiro em
,
mesmo resultado, como deve ocorrer por Fubini.