Calcule a integral dupla sobre a região R dada.
\iint_{R} e^{x-y} d A, \quad R: 0 \leq x \leq \ln 2, \quad 0 \leq y \leq \ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre a região R e fornece os limites da região. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • A integral a calcular é \iint_{R} e^{x-y}\,dA.
  • A região R é o retângulo com limites:
    • 0 \leq x \leq \ln 2,
    • 0 \leq y \leq \ln 2.
Pergunta: determinar o valor numérico de \iint_{R} e^{x-y}\,dA.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem cálculos ainda): como R é um retângulo e a função e^{x-y} pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de y, isto é
e^{x-y}=e^{x}\,e^{-y},
podemos usar integração iterada (Teorema de Fubini) e separar a integral dupla em produto de integrais simples. Em palavras: sobre um retângulo, se a função f(x,y)=g(x)h(y), então
\iint_{R} g(x)h(y)\,dA = \left(\int_{x\\ \text{intervalo}} g(x)\,dx\right)\cdot\left(\int_{y\\ \text{intervalo}} h(y)\,dy\right).
Vou aplicar essa propriedade com g(x)=e^{x} e h(y)=e^{-y}.

Passo 3

Escrever a integral como produto de integrais unidimensionais usando a separação:
\iint_{R} e^{x-y}\,dA = \int_{0}^{\ln 2}\!\!\int_{0}^{\ln 2} e^{x-y}\,dy\,dx = \int_{0}^{\ln 2} e^{x}\!\left(\int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\,dy\right)\!dx.
Aqui foi usada a propriedade de que a integral interna em y resulta em uma função de x que pode sair da integral em x.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
  • Antiderivada de e^{-y} é -e^{-y}, porque \dfrac{d}{dy}(-e^{-y})=e^{-y}.
  • Então
\int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\,dy = \Big[-e^{-y}\Big]_{y=0}^{y=\ln 2} = -e^{-\ln 2} -\big(-e^{0}\big).
Agora avaliar os expoentes em termos simples:
e^{-\ln 2} = e^{\ln(2^{-1})} = \tfrac{1}{2}, \qquad e^{0}=1.
Portanto
\int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\,dy = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituir o resultado da integral em y na integral em x:
\iint_{R} e^{x-y}\,dA = \int_{0}^{\ln 2} e^{x}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x:
  • Antiderivada de e^{x} é e^{x}.
  • Então
\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\,dx = \Big[e^{x}\Big]_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2}-e^{0}.
Usando e^{\ln 2}=2 e e^{0}=1, obtemos
\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\,dx = 2-1 = 1.
Logo,
\iint_{R} e^{x-y}\,dA = \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): se integrássemos primeiro em x,
\int_{0}^{\ln 2}\!\!\int_{0}^{\ln 2} e^{x-y}\,dx\,dy = \int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\!\left(\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\,dx\right)\!dy = \int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\cdot 1\,dy = \tfrac{1}{2},
mesmo resultado, como deve ocorrer por Fubini.

Resposta

\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados