Questäo 04 ( 2,0 pontos). Calcule
sendo
o segmento de reta que sai de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
.
Informações dadas:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - Função a integrar ao longo da curva:
. - A integração é em relação ao elemento de comprimento de arco
.
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento de reta
. Uma parametrização padrão de um segmento de
a
é
Aqui
. Assim escolhemos
Explicando: quando
temos
e quando
temos
. O parâmetro
percorre o segmento de forma linear.
Passo 3
Escrevendo as coordenadas em função de
:
Substituindo na função
obtemos a função a integrar em
:
Aqui expliquei passo a passo a soma termo a termo.
Passo 4
Agora precisamos do elemento de comprimento
. Para uma parametrização
tem-se
onde
é a derivada vetorial e
é a norma (módulo) do vetor. Calculando
:
A norma é
Observação didática: como o segmento é retilíneo com velocidade constante,
é constante, o que simplifica muito a integral.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da integral de uma função escalar ao longo de uma curva:
No nosso caso
e
. Substituindo
e
obtemos a integral em
:
Passo 6
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Agora integramos termo a termo. Usamos a regra básica:
e
. Assim
Passo 7
Multiplicando pela constante que estava fora,
Essa é a resposta final da integral.