Questäo 04 ( 2,0 pontos). Calcule \int_{C}(x+y) d s sendo C o segmento de reta que sai de A(1,2) até B(3,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x+y)\,ds
onde C é o segmento de reta que vai de A(1,2) até B(3,4).
Informações dadas:
  • Ponto inicial: A(1,2).
  • Ponto final: B(3,4).
  • Função a integrar ao longo da curva: f(x,y)=x+y.
  • A integração é em relação ao elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento de reta C. Uma parametrização padrão de um segmento de A a B é
\mathbf{r}(t)=A+t(B-A),\qquad 0\le t\le 1.
Aqui B-A=(3-1,\,4-2)=(2,2). Assim escolhemos
\mathbf{r}(t)=(1+2t,\;2+2t),\qquad 0\le t\le 1.
Explicando: quando t=0 temos \mathbf{r}(0)=A e quando t=1 temos \mathbf{r}(1)=B. O parâmetro t percorre o segmento de forma linear.

Passo 3

Escrevendo as coordenadas em função de t:
x(t)=1+2t,\qquad y(t)=2+2t.
Substituindo na função f(x,y)=x+y obtemos a função a integrar em t:
f(x(t),y(t))=x(t)+y(t)=(1+2t)+(2+2t)=3+4t.
Aqui expliquei passo a passo a soma termo a termo.

Passo 4

Agora precisamos do elemento de comprimento ds. Para uma parametrização \mathbf{r}(t) tem-se
ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial e |\cdot| é a norma (módulo) do vetor. Calculando \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=(2,2).
A norma é
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Observação didática: como o segmento é retilíneo com velocidade constante, |\mathbf{r}'(t)| é constante, o que simplifica muito a integral.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integral de uma função escalar ao longo de uma curva:
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.
No nosso caso a=0 e b=1. Substituindo f(x(t),y(t))=3+4t e |\mathbf{r}'(t)|=2\sqrt{2} obtemos a integral em t:
\int_{C}(x+y)\,ds = \int_{0}^{1} (3+4t)\,2\sqrt{2}\,dt.

Passo 6

Fatoramos a constante 2\sqrt{2} para fora da integral:
\int_{0}^{1} (3+4t)\,2\sqrt{2}\,dt = 2\sqrt{2}\int_{0}^{1} (3+4t)\,dt.
Agora integramos termo a termo. Usamos a regra básica: \int a\,dt = a t e \int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^{2}. Assim
\int_{0}^{1} (3+4t)\,dt = \left[3t + 2t^{2}\right]_{0}^{1} = (3\cdot 1 + 2\cdot 1^{2}) - 0 = 3+2=5.

Passo 7

Multiplicando pela constante que estava fora,
2\sqrt{2}\cdot 5 = 10\sqrt{2}.
Essa é a resposta final da integral.

Resposta

10\sqrt{2}

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