(2 pt pt)Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região definida por 0≤x≤2 e 0≤y≤x²+1 e depois trocar a ordem de integração da integral
. Vamos usar conceitos de regiões de integração em coordenadas cartesianas e projeção no eixo y.
Passo 2
Primeiro, identificamos as fronteiras da região: a reta
, a curva
, e as retas verticais
e
. Ao esboçar, obtemos um setor entre o eixo y=0 e a parábola que vai de x=0 (y=1) até x=2 (y=5).
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos a região no eixo y. O menor valor de y na região é y=0, e o maior é y=5. Para um y fixo, precisamos achar os valores de x que satisfazem 0≤x≤2 e y≤x²+1.
Passo 4
Resolvendo
para x, temos
e como x≥0 ficamos com
. Mas note que se y<1, a desigualdade
vale para todo x≥0. Portanto dividimos em dois casos:
Passo 5
- Para
: a condição é automaticamente satisfeita em todo .
Passo 6
- Para
: temos , logo varia de até 2.
Passo 7
Montamos então a integral com ordem invertida como a soma de duas integrais sobre esses intervalos de y e x.
Resposta
A integral com ordem invertida é