(2 pt pt)Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas
integral0^2 integral0^x^2+1 f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região definida por 0≤x≤2 e 0≤y≤x²+1 e depois trocar a ordem de integração da integral integral0^2integral0^x^2+1f(x,y),dy,dx. Vamos usar conceitos de regiões de integração em coordenadas cartesianas e projeção no eixo y.

Passo 2

Primeiro, identificamos as fronteiras da região: a reta y=0, a curva y=x^2+1, e as retas verticais x=0 e x=2. Ao esboçar, obtemos um setor entre o eixo y=0 e a parábola que vai de x=0 (y=1) até x=2 (y=5).

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos a região no eixo y. O menor valor de y na região é y=0, e o maior é y=5. Para um y fixo, precisamos achar os valores de x que satisfazem 0≤x≤2 e y≤x²+1.

Passo 4

Resolvendo y≤x^2+1 para x, temos x²≥y-1² e como x≥0 ficamos com x≥raizy-1. Mas note que se y<1, a desigualdade y≤x²+1² vale para todo x≥0. Portanto dividimos em dois casos:

Passo 5

  • Para 0≤y≤1: a condição y≤x²+1² é automaticamente satisfeita em todo 0≤x≤2.

Passo 6

  • Para 1≤y≤5: temos x≥raizy-1, logo x varia de raizy-1 até 2.

Passo 7

Montamos então a integral com ordem invertida como a soma de duas integrais sobre esses intervalos de y e x.

Resposta

A integral com ordem invertida é
integraly=0^1integralx=0^2f(x,y),dx,dy ;+ integraly=1^5integralx=raizy-1^2f(x,y),dx,dy

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