Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
(f) grad(div(F))

Passo 1

O enunciado pede para analisar a expressão
grad(div(F))
onde F é um campo vetorial. Para isso, vamos lembrar os papéis dos operadores:
div toma um campo vetorial (de classe pelo menos C^1) e produz um campo escalar.
grad toma um campo escalar (de classe pelo menos C^1) e produz um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro aplicamos
div(F),
obtemos um campo escalar (assumindo Fin C^1). Em seguida, aplicamos
gradl(div(F)r),
o que exige que div(F) seja pelo menos de classe C^1. Isso se garante se Fin C^2. O resultado é, portanto, um campo vetorial.

Resposta

A expressão faz sentido e seu resultado é um campo vetorial.

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