Esboce a região de integração e mude a ordem para calcular as integrais a seguir.
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\ln x} x d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{1}^{3}\int_{0}^{\ln x} x \,dy\,dx
e pede para esboçar a região de integração no plano xy, trocar a ordem de integração e calcular. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

A região D é
D = \{(x,y)\mid 1\le x\le3,\;0\le y\le \ln x\}.
No plano xy, está limitada abaixo por y=0, acima por y=\ln x, à esquerda por x=1 e à direita por x=3. Note que a curva y=\ln x equivale a x=e^y.

Passo 3

Para inverter a ordem, vemos que y varia de 0 até \ln3 e para cada y fixo, x vai de e^y até 3. Logo a integral vira
\int_{0}^{\ln3}\int_{e^y}^{3} x \,dx\,dy.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{e^y}^{3} x \,dx =\left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{e^y}^{3} =\tfrac{9}{2}-\tfrac{e^{2y}}{2}.
Depois integramos em y:
\int_{0}^{\ln3}\Bigl(\tfrac{9}{2}-\tfrac{e^{2y}}{2}\Bigr)dy =\tfrac{1}{2}\Bigl[9y-\tfrac{e^{2y}}{2}\Bigr]_{0}^{\ln3} =\tfrac{1}{2}\Bigl(9\ln3-\tfrac{9-1}{2}\Bigr) =\tfrac{9}{2}\ln3-2.

Resposta

A integral, com ordem trocada, é
\int_{0}^{\ln3}\int_{e^y}^{3} x \,dx\,dy
e o valor final é
\tfrac{9}{2}\ln3-2.

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