Sabemos que área de uma região D \subset \mathbb{R}^{2} pode ser descrita pela integral dupla
A(D)=\iint_{D} 1 d A
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida entre as curvas:
y=x^{3} e y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região D\subset\mathbb{R}^2 limitada pelas curvas
y = x^3
e
y = x^2.
O método é usar integração dupla para área, encontrando primeiro os pontos de interseção, depois montando a integral em ordem conveniente e finalmente calculando-a.

Passo 2

Para achar os limites em x, igualamos as curvas:
x^3 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Nessa faixa 0\le x\le1, temos x^2\ge x^3, de modo que a fronteira superior é y=x^2 e a inferior é y=x^3.

Passo 3

Escrevemos a área como integral iterada em x e y:
A(D) =\iint_{D}1\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^3}^{y=x^2}1\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^3}^{y=x^2}1\,dy = \bigl[y\bigr]_{x^3}^{x^2} = x^2 - x^3.
Assim
A(D) =\int_{0}^{1}(x^2 - x^3)\,dx.

Passo 5

Integramos em x:
\int_{0}^{1}x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x^3\,dx = \frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Logo
A(D) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{1}{12}.

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