Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{\arctan x}^{\pi / 4} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{1}\int_{\arctan x}^{\pi/4} f(x,y)\,dy\,dx
e pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano xy e trocar a ordem de integração. Informações fornecidas:
  • x varia entre 0 e 1.
  • Para cada x fixo, y varia entre y=\arctan x (limite inferior) e y=\pi/4 (limite superior).

Passo 2

Identificar as curvas/bordas que delimitam a região:
  • A curva inferior é y=\arctan x.
  • A curva superior é a reta horizontal y=\pi/4.
  • As bordas verticais são x=0 e x=1 (porque x vai de 0 a 1).
    Pontos importantes: \arctan 0 = 0 e \arctan 1 = \pi/4. Assim a curva y=\arctan x vai de (0,0) até (1,\pi/4) no intervalo considerado.

Passo 3

Como esboçar a região (passo a passo verbal para desenhar no papel):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque a altura y=\pi/4 com uma reta horizontal.
  • Desenhe a curva crescente y=\arctan x passando por (0,0) e por (1,\pi/4).
  • A região é a parte entre essa curva e a reta y=\pi/4, para 0\le x\le1: é um “banda” vertical limitada à esquerda por x=0 e à direita por x=1, com topo em y=\pi/4 e fundo em y=\arctan x. (Faça o sombreado dessa região.)

Passo 4

Encontrar a projeção da região no eixo y (para trocar a ordem):
  • y mínimo na região é \arctan 0 = 0.
  • y máximo é \pi/4.
    Portanto y varia em [0,\pi/4].

Passo 5

Para um y fixo em [0,\pi/4], determinar o intervalo de x:
  • A condição para pontos da região é \arctan x \le y \le \pi/4 com 0\le x\le1.
  • Como a função \arctan é crescente, \arctan x \le y é equivalente a x \le \tan y.
  • Para y\in[0,\pi/4] tem-se \tan y\in[0,1], então a condição 0\le x\le1 não impõe limite adicional além de x\le\tan y.
    Logo, para cada y\in[0,\pi/4], x varia de 0 até x=\tan y.

Passo 6

Escrever a nova ordem de integração: integrar primeiro em x de 0 até \tan y, depois em y de 0 até \pi/4. Assim a integral trocada é
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\tan y} f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

Região: \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\ \arctan x\le y\le \pi/4\}
\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\tan y} f(x,y)\,dx\,dy

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