Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede duas coisas: esboçar a região de integração no plano
e trocar a ordem de integração. Informações fornecidas:
-
varia entre e . - Para cada
fixo, varia entre (limite inferior) e (limite superior).
Passo 2
Identificar as curvas/bordas que delimitam a região:
- A curva inferior é
. - A curva superior é a reta horizontal
. - As bordas verticais são
e (porque vai de a ).
Pontos importantes:e . Assim a curva vai de até no intervalo considerado.
Passo 3
Como esboçar a região (passo a passo verbal para desenhar no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Marque a altura
com uma reta horizontal. - Desenhe a curva crescente
passando por e por . - A região é a parte entre essa curva e a reta
, para : é um “banda” vertical limitada à esquerda por e à direita por , com topo em e fundo em . (Faça o sombreado dessa região.)
Passo 4
Encontrar a projeção da região no eixo
(para trocar a ordem):
-
mínimo na região é . -
máximo é .
Portantovaria em .
Passo 5
Para um
fixo em
, determinar o intervalo de
:
- A condição para pontos da região é
com . - Como a função
é crescente, é equivalente a . - Para
tem-se , então a condição não impõe limite adicional além de .
Logo, para cada, varia de até .
Passo 6
Escrever a nova ordem de integração: integrar primeiro em
de
até
, depois em
de
até
. Assim a integral trocada é
Resposta
Região: