Calcule a integral dupla.
é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de centro na origem e raio
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A região
é o conjunto de todos os pontos tais que . - A função a integrar é
. - A medida
é a medida de área (elemento de área), ou seja, integração sobre a região plana.
O que o problema pede: calcular o valor numérico da integral dupla da função
sobre o disco de raio
centrado na origem.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como a região
é um disco centrado na origem, é natural usar coordenadas polares. Coordenadas polares transformam o disco em um retângulo simples em termos de
e
, o que facilita muito a integral. Vou agora explicar o que são as coordenadas polares e como fazer a transformação.
Passo 3
Mudança para coordenadas polares — definição e justificativa:
- Em coordenadas polares toma-se
e . - Aqui
é a distância do ponto à origem ( ) e é o ângulo que o raio faz com o eixo . - Para o disco de raio
centrado na origem, os intervalos são e . - O elemento de área em coordenadas polares é
. Explicação rápida: um pequeno pedaço de área é aproximadamente um retângulo de lados e , então a área é .
Passo 4
Substituição do integrando em coordenadas polares:
- Substituir
e em :
- Multiplicando pelo jacobiano
do elemento de área:
Passo 5
Escrever a integral dupla em polares e notar a separação:
Observação didática: a função dentro da integral é um produto de uma função que depende só de
(
) e outra que depende só de
(
). Isso permite separar a parte radial da parte angular quando conveniente.
Passo 6
Calcular a integral radial (a parte que depende de
):
Passo 7
Calcular a integral angular (a parte que depende de
):
Agora as integrais básicas:
Logo,
Passo 8
Combinar as partes radial e angular: a integral dupla é o produto (pela separação)
Interpretação alternativa rápida (intuição): as funções
e
têm média zero sobre um disco centrado na origem por simetria (cada ponto
tem correspondente
e
), então integrando
sobre o disco obtém-se zero. Mas a conta em polares acima mostra isso de forma explícita.
Resposta
0