Calcule a integral dupla.
\iint_{D}(2 x-y) d \Lambda, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (2x - y)\,d\Lambda,
onde D é o disco de centro na origem e raio 2. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A região D é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que \,x^2+y^2\le 2^2.
  • A função a integrar é f(x,y)=2x-y.
  • A medida d\Lambda é a medida de área (elemento de área), ou seja, integração sobre a região plana.
O que o problema pede: calcular o valor numérico da integral dupla da função 2x-y sobre o disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como a região D é um disco centrado na origem, é natural usar coordenadas polares. Coordenadas polares transformam o disco em um retângulo simples em termos de r e \theta, o que facilita muito a integral. Vou agora explicar o que são as coordenadas polares e como fazer a transformação.

Passo 3

Mudança para coordenadas polares — definição e justificativa:
  • Em coordenadas polares toma-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • Aqui r é a distância do ponto (x,y) à origem ( r\ge 0) e \theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x.
  • Para o disco de raio 2 centrado na origem, os intervalos são \,0\le r\le 2 e \,0\le \theta\le 2\pi.
  • O elemento de área em coordenadas polares é d\Lambda = r\,dr\,d\theta. Explicação rápida: um pequeno pedaço de área é aproximadamente um retângulo de lados dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Substituição do integrando em coordenadas polares:
  • Substituir x e y em 2x-y:
2x-y = 2(r\cos\theta)- (r\sin\theta) = r\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr).
  • Multiplicando pelo jacobiano r do elemento de área:
(2x-y)\,d\Lambda = r\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrever a integral dupla em polares e notar a separação:
\iint_{D}(2x-y)\,d\Lambda = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Observação didática: a função dentro da integral é um produto de uma função que depende só de r ( r^{2}) e outra que depende só de \theta ( 2\cos\theta-\sin\theta). Isso permite separar a parte radial da parte angular quando conveniente.

Passo 6

Calcular a integral radial (a parte que depende de r):
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0=\frac{8}{3}.

Passo 7

Calcular a integral angular (a parte que depende de \theta):
\int_{0}^{2\pi}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = 2\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta - \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
Agora as integrais básicas:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0,
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0.
Logo,
\int_{0}^{2\pi}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = 2\cdot 0 - 0 = 0.

Passo 8

Combinar as partes radial e angular: a integral dupla é o produto (pela separação)
\left(\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta\right) = \frac{8}{3}\cdot 0 = 0.
Interpretação alternativa rápida (intuição): as funções x e y têm média zero sobre um disco centrado na origem por simetria (cada ponto (x,y) tem correspondente (-x,y) e (x,-y)), então integrando 2x-y sobre o disco obtém-se zero. Mas a conta em polares acima mostra isso de forma explícita.

Resposta

0

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