Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla na região que você acha mais fácil.
\iint_{D} x y d \Lambda, D é limitada pelas curvas y=x^{2}, y=3 x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá:
  • Pede expressar a região D como região do tipo I e também como região do tipo II.
  • Em seguida pede calcular a integral dupla \iint_{D} x\,y\,d\Lambda.
  • As curvas que limitam D são \;y=x^{2}\; e \;y=3x\;.
  • Pontos de interseção: resolver x^{2}=3x x(x-3)=0, logo x=0 e x=3. Assim os pontos de interseção são (0,0) e (3,9).

Passo 2

Expressão de D como região do tipo I (variando x primeiro).
  • Regiões do tipo I são da forma \{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_{1}(x)\le y\le g_{2}(x)\}.
  • Para x entre \;0 e \;3 compare as curvas \;y=x^{2} e \;y=3x: 3x-x^{2}=x(3-x)\ge 0\quad\text{para}\quad 0\le x\le 3,portanto \;3x\ge x^{2} nesse intervalo; isto é, a reta \;y=3x está acima da parábola \;y=x^{2}.
  • Logo a descrição tipo I é D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\; x^{2}\le y\le 3x\}.

Passo 3

Expressão de D como região do tipo II (variando y primeiro).
  • Regiões do tipo II são da forma \{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_{1}(y)\le x\le h_{2}(y)\}.
  • Das equações das curvas expressas em x: de y=x^{2} obtemos x=\pm\sqrt{y}; de y=3x obtemos x=\dfrac{y}{3}.
  • O intervalo de y vai do menor y na região até o maior, isto é de \;y=0 até \;y=9 (valores nos pontos de interseção).
  • Para 0\le y\le 9 temos t=\sqrt{y}\in[0,3]. Compare x=\dfrac{y}{3} e x=\sqrt{y}: \sqrt{y}-\frac{y}{3}=t-\frac{t^{2}}{3}=\frac{t(3-t)}{3}\ge 0\quad\text{pois }0\le t\le 3.Assim \dfrac{y}{3}\le \sqrt{y} em [0,9].
  • Logo a descrição tipo II é D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 9,\; \frac{y}{3}\le x\le \sqrt{y}\}.

Passo 4

Escolha da ordem de integração e justificativa breve.
  • Ambas as descrições são simples; vou calcular a integral usando a descrição do tipo I porque integra-se primeiro em y com limite y=x^{2} até y=3x, o que dá antiderivadas simples em y.
  • Montando a integral: \iint_{D} x\,y\,d\Lambda=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=x^{2}}^{3x} x\,y\,dy\right)dx.

Passo 5

Cálculo detalhado da integral (integração interna em y, depois em x).
  • Integral interna (para x fixo): usar \displaystyle\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}. Como x é constante na integração em y, \int_{y=x^{2}}^{3x} x\,y\,dy = x\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=3x} =x\cdot\frac{1}{2}\big((3x)^{2}-(x^{2})^{2}\big).
  • Simplificando: x\cdot\frac{1}{2}\big(9x^{2}-x^{4}\big)=\frac{1}{2}\big(9x^{3}-x^{5}\big).
  • Agora integrar em x de 0 a 3: \int_{0}^{3}\frac{1}{2}\big(9x^{3}-x^{5}\big)dx =\frac{1}{2}\left[9\cdot\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{3}.
  • Calcule cada termo em x=3: 9\cdot\frac{3^{4}}{4}=9\cdot\frac{81}{4}=\frac{729}{4},\qquad \frac{3^{6}}{6}=\frac{729}{6}=\frac{243}{2}.Então dentro dos colchetes: \frac{729}{4}-\frac{243}{2}=\frac{729}{4}-\frac{486}{4}=\frac{243}{4}.
  • Multiplicando por \dfrac{1}{2} obtém-se \frac{1}{2}\cdot\frac{243}{4}=\frac{243}{8}.

Passo 6

Checagem rápida (opcional) usando a descrição tipo II para confirmar (resumo do cálculo).
  • Integral em descrição tipo II: \iint_{D} x\,y\,d\Lambda=\int_{y=0}^{9}\left(\int_{x=y/3}^{\sqrt{y}} x\,y\,dx\right)dy.
  • Integral interna em x: \displaystyle\int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}, logo \int_{x=y/3}^{\sqrt{y}} x\,y\,dx = y\cdot\frac{1}{2}\big(y-(y/3)^{2}\big) =\frac{1}{2}\big(y^{2}-\frac{y^{3}}{9}\big).
  • Integrando em y de 0 a 9 e simplificando também dá \dfrac{243}{8}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{243}{8}

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