Expresse
como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla na região que você acha mais fácil.
é limitada pelas curvas
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá:
- Pede expressar a região
como região do tipo I e também como região do tipo II. - Em seguida pede calcular a integral dupla
. - As curvas que limitam
são e . - Pontos de interseção: resolver
dá , logo e . Assim os pontos de interseção são e .
Passo 2
Expressão de
como região do tipo I (variando
primeiro).
- Regiões do tipo I são da forma
. - Para
entre e compare as curvas e : portanto nesse intervalo; isto é, a reta está acima da parábola . - Logo a descrição tipo I é
Passo 3
Expressão de
como região do tipo II (variando
primeiro).
- Regiões do tipo II são da forma
. - Das equações das curvas expressas em
: de obtemos ; de obtemos . - O intervalo de
vai do menor na região até o maior, isto é de até (valores nos pontos de interseção). - Para
temos . Compare e : Assim em . - Logo a descrição tipo II é
Passo 4
Escolha da ordem de integração e justificativa breve.
- Ambas as descrições são simples; vou calcular a integral usando a descrição do tipo I porque integra-se primeiro em
com limite até , o que dá antiderivadas simples em . - Montando a integral:
Passo 5
Cálculo detalhado da integral (integração interna em
, depois em
).
- Integral interna (para
fixo): usar . Como é constante na integração em , - Simplificando:
- Agora integrar em
de a : - Calcule cada termo em
: Então dentro dos colchetes: - Multiplicando por
obtém-se
Passo 6
Checagem rápida (opcional) usando a descrição tipo II para confirmar (resumo do cálculo).
- Integral em descrição tipo II:
- Integral interna em
: , logo - Integrando em
de a e simplificando também dá , confirmando o resultado anterior.