Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\cos x} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos x}f(x,y)\,dy\,dx
e pede para esboçar a região de integração
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi/2,\;0\le y\le\cos x\}
e depois trocar a ordem de integração. Vamos usar geometria simples para isso.

Passo 2

A curva limite é y=\cos x de x=0 (onde \cos0=1) até x=\pi/2 (onde \cos(\pi/2)=0). No plano xy:
  • O eixo x vai de 0 a \pi/2.
  • O eixo y vai de 0 a 1.
  • A região R é tudo que fica abaixo de y=\cos x e acima de y=0 nesse intervalo de x.

Passo 3

Para trocar a ordem, projetamos R no eixo y. O menor valor de y em R é 0 e o maior é 1. Para um y fixo em [0,1], a condição y\le\cos x equivale a
x\le \operatorname{arccos}(y),
além de x\ge0. Logo, em termos de y, temos
0\le y\le1 \quad\text{e}\quad 0\le x\le \operatorname{arccos}(y).

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arccos}(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

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