Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(b) integral0^1 integraly^raiz2-y^2(x+y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D definida por 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ √(2−y²) e depois calcular a integral dupla ∬_D (x+y) dA. O conteúdo é Integrais Duplas em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender como interpretar os limites de integração e aplicar a integração iterada.

Passo 2

A região D fica no primeiro quadrante, limitada abaixo por y=0, acima por y=1, à esquerda pela reta x=y e à direita pela circunferência x²+y²=2 (ou seja x=√(2−y²)). No papel, desenhe a reta de 45° y=x, marque o ponto onde ela cruza y=1 (que é (1,1)) e o arco de círculo de raio √2 centrado na origem entre y=0 e y=1.

Passo 3

Para calcular a integral, primeiro integramos em x:
I(y)=integralx=y^x=raiz2-y^2(x+y),dx
Usando antiderivada, temos
integral(x+y)dx=tfrac12x^2+yx,
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I(y)=l[tfrac12x^2+yxr]x=y^x=raiz2-y^2=l(tfrac12(2-y^2)+yraiz2-y^2r)-l(tfrac12y^2+y^2r)

Passo 4

Simplificando I(y):
I(y)=1-tfrac12y^2+yraiz2-y^2-tfrac32y^2=1-2y^2+yraiz2-y^2
Então a integral dupla vira
integraly=0^1l(1-2y^2+yraiz2-y^2r)dy

Passo 5

Separamos em três integrais:
  1. integral0^1 1,dy=1
  2. integral0^1 (-2y^2)dy=-2cdottfrac1^33=-tfrac23
  3. integral0^1 yraiz2-y^2,dy. Para a última, use a substituição u=2−y², du=−2y dy:
    quando y=0, u=2; quando y=1, u=1.
integral0^1 yraiz2-y^2dy=integralu=2^1raizu,l(-tfrac12dur)=tfrac12integral1^2u^1/2du=tfrac12cdottfrac23[u^3/2]1^2=tfrac13(2raiz2-1)

Passo 6

Somando tudo:
1 - tfrac23 + tfrac13(2raiz2-1)=tfrac13+tfrac2raiz2-13=tfrac2raiz23

Resposta

2raiz23

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