Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região D definida por 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ √(2−y²) e depois calcular a integral dupla ∬_D (x+y) dA. O conteúdo é Integrais Duplas em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender como interpretar os limites de integração e aplicar a integração iterada.
Passo 2
A região D fica no primeiro quadrante, limitada abaixo por y=0, acima por y=1, à esquerda pela reta x=y e à direita pela circunferência x²+y²=2 (ou seja x=√(2−y²)). No papel, desenhe a reta de 45° y=x, marque o ponto onde ela cruza y=1 (que é (1,1)) e o arco de círculo de raio √2 centrado na origem entre y=0 e y=1.
Passo 3
Para calcular a integral, primeiro integramos em x:
Usando antiderivada, temos
logo
Passo 4
Simplificando I(y):
Então a integral dupla vira
Passo 5
Separamos em três integrais:
-
-
-
. Para a última, use a substituição u=2−y², du=−2y dy:
quando y=0, u=2; quando y=1, u=1.
Passo 6
Somando tudo: