Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se é melhor usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral
O conteúdo principal é integrais triplas e mudança de variáveis para simplificar região e integrando.
Passo 2
Observando o domínio de integração em (x,y): temos
de
a
e
de
a
. Isso descreve a meia-disca de raio 2 com
. Para cada ponto,
varia entre
e
, ou seja, estamos integrando sobre a metade da bola de raio 2 (metade em relação ao plano yz, pois
).
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas (
) a condição
fica simples, mas a restrição
vira
. Ainda assim, o integrando
não fica tão compacto, pois
e
.
Passo 4
Em coordenadas esféricas (
) temos
, e o domínio da bola inteira é apenas
,
,
. A condição
impõe
. O integrando fica
e o volume
Passo 5
Como o domínio é meio-bola e o integrando depende de
de modo simples, o mais natural é usar coordenadas esféricas.
Resposta
É melhor usar coordenadas esféricas.