Decida se é melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
(d) integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 x^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se é melhor usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral
integral-2^2integral0^raiz4-x^2integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 x^2raizx^2+y^2+z^2,dz,dy,dx
O conteúdo principal é integrais triplas e mudança de variáveis para simplificar região e integrando.

Passo 2

Observando o domínio de integração em (x,y): temos x de -2 a 2 e y de 0 a raiz4-x^2. Isso descreve a meia-disca de raio 2 com y>=0. Para cada ponto, z varia entre -raiz4-x^2-y^2 e +raiz4-x^2-y^2, ou seja, estamos integrando sobre a metade da bola de raio 2 (metade em relação ao plano yz, pois y>=0).

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas ( r,theta,z) a condição x^2+y^2<=4 fica simples, mas a restrição y>=0 vira thetain[0,pi]. Ainda assim, o integrando x^2raizx^2+y^2+z^2 não fica tão compacto, pois x=rcostheta e raizx^2+y^2+z^2=raizr^2+z^2.

Passo 4

Em coordenadas esféricas ( r,phi,theta) temos x=rsinphicostheta, e o domínio da bola inteira é apenas rin[0,2], phiin[0,pi], thetain[0,2pi]. A condição y>=0 impõe thetain[0,pi]. O integrando fica
x^2raizx^2+y^2+z^2=(rsinphicostheta)^2cdot r = r^3sin^2phicos^2theta,
e o volume dV=r^2sinphi,dr,dphi,dtheta. Tudo se expressa com funções r e ângulos de forma bastante direta.

Passo 5

Como o domínio é meio-bola e o integrando depende de r=raizx^2+y^2+z^2 de modo simples, o mais natural é usar coordenadas esféricas.

Resposta

É melhor usar coordenadas esféricas.

Exercícios relacionados