Resolva o PVI abaixo:
Passo 1
Resumo do problema: Temos que resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
Conteúdo envolvido: Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, precisamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Identificando a equação: A equação dada é linear e pode ser escrita na forma padrão:
Aqui, $ p(t) = 1 $ e $ g(t) = \left(1 + e{t}\right){-1} $.
Passo 3
Calculando o fator integrante: O fator integrante ($ \mu(t) $) é encontrado pela fórmula:
Passo 4
Multiplicando pela fator integrante: Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Integrando ambos os lados: Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
O lado esquerdo simplifica para $ e^{t} y $.
Passo 6
Resolvendo a integral do lado direito: Para resolver $ \int \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} dt $, fazemos a substituição $ u = 1 + e^{t} $, então $ du = e^{t} dt $:
Passo 7
Encontrando a solução geral: Agora temos:
Resolvendo para $ y $:
Passo 8
Aplicando a condição inicial: Usamos $ y(0) = \ln(2) $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução do PVI é: