Resolva o PVI abaixo:
ly^prime+y=(1+e^t)^-1 y(0)=ln (2)

Passo 1

Resumo do problema: Temos que resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^prime + y = (1 + e^t)^-1 y(0) = ln(2)
Conteúdo envolvido: Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, precisamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificando a equação: A equação dada é linear e pode ser escrita na forma padrão:
y^prime + p(t) y = g(t)
Aqui, $ p(t) = 1 $ e $ g(t) = \left(1 + e{t}\right){-1} $.

Passo 3

Calculando o fator integrante: O fator integrante ($ \mu(t) $) é encontrado pela fórmula:
mu(t)

Passo 4

Multiplicando pela fator integrante: Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^t y^prime + e^t y = e^t (1 + e^t)^-1
Isso simplifica a equação para:
ddt ( e^t y ) = e^t1 + e^t

Passo 5

Integrando ambos os lados: Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
O lado esquerdo simplifica para $ e^{t} y $.

Passo 6

Resolvendo a integral do lado direito: Para resolver $ \int \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} dt $, fazemos a substituição $ u = 1 + e^{t} $, então $ du = e^{t} dt $:
integral e^t1 + e^t dt

Passo 7

Encontrando a solução geral: Agora temos:
e^t y = ln(1 + e^t) + C
Resolvendo para $ y $:
y

Passo 8

Aplicando a condição inicial: Usamos $ y(0) = \ln(2) $ para encontrar $ C $:
y(0) = ln(2)

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^-t ln(1 + e^t)

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