Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
(d) integral duplaR arctg(yx) d A, onde R=(x, y) ; 1 <= x^2+y^2 <= 4, 0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaR arctanl(tfracyxr),dA, onde a região R é definida por 1<= x^2+y^2<=4 e 0<= y<= x. Vamos esboçar R e usar coordenadas polares para resolver a integral dupla de forma mais direta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. A condição 1<= x^2+y^2<=4 vira 1<= r^2<=4, ou seja 1<= r<=2. As desigualdades y>=0 e y<= x viram rsintheta>=0 e rsintheta<= rcostheta, isto é 0<=theta<=tfracpi4. Logo R:,1<= r<=2,,0<=theta<=tfracpi4.

Passo 3

Na integral original, temos arctanl(tfracyxr)=arctan(tantheta)=theta pois 0<=theta<=tfracpi4. O elemento de área dA vira r,dr,dtheta. Então
integral duplaRarctanl(tfracyxr),dA = integraltheta=0^pi/4integralr=1^2 theta,r,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos primeiro em r:
integralr=1^2r,dr = r^22|1^2 = 4-12 = 32,
ficando
integral0^pi/4thetacdot32,dtheta = 32integral0^pi/4theta,dtheta

Passo 5

Por fim, calculamos a integral em theta:
integral0^pi/4theta,dtheta = theta^22|0^pi/4 = 12l(pi4r)^2 = pi^232
Multiplicando pelo fator tfrac32 resulta
32cdotpi^232 = 3pi^264

Resposta

3pi^264

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