Esboce a resposta no tempo do sistema para uma entrada do tipo degrau unitário igual a:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a resposta no tempo do sistema para uma entrada do tipo degrau igual a
. Informações fornecidas:
Informação que falta (necessária para uma resposta numérica/única): a descrição do sistema (por exemplo, a função de transferência
ou a equação diferencial do sistema). Sem
não há uma única resposta temporal específica — existem muitas respostas possíveis dependendo do sistema.
Passo 2
Princípio geral (ferramentas que usamos): para um sistema linear invariante no tempo (LTI) com condições iniciais nulas, trabalhamos no domínio de Laplace. A transformada de Laplace do degrau de amplitude
é
Aqui
, logo
Explicação didática: a transformada de Laplace converte sinais no tempo em funções de
que facilitem multiplicar pela função de transferência do sistema; depois voltamos ao tempo com a transformada inversa.
Passo 3
Como obter a saída em
? Seja
a função de transferência do sistema (a relação entre saída e entrada no domínio
, supondo condições iniciais nulas). Então
Para obter
fazemos a transformada inversa de Laplace de
. Dica prática: muitas vezes usamos decomposição em frações parciais e tabelas de transformadas.
Passo 4
Resultado importante e prático (valor final): o ganho DC do sistema é
Pelo teorema do valor final, a saída em regime permanente ao aplicar o degrau vale
Explicação: o degrau de amplitude
é multiplicado pelo ganho estático do sistema para dar o valor final da saída.
Passo 5
Exemplo concreto 1 (muito comum em provas): sistema de primeira ordem com função de transferência
onde
é o ganho DC (
) e
é a constante de tempo (
). Calculemos
.
Fazemos frações parciais: suponha
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes: termo constante dá
. Coeficiente de
dá
. Então
Fazendo a transformada inversa (lembrando que
e
):
Observações didáticas:
- Valor inicial
(assumindo condições iniciais nulas). - Valor final
(coerente com o teorema do valor final). - A constante de tempo
determina a velocidade: em a resposta atinge do valor final, ou seja .
Passo 6
Exemplo concreto 2 (segundo ordem, visão rápida): para um sistema subamortecido com
onde
é o coeficiente de amortecimento e
a frequência natural, a resposta ao degrau
(para
) tem forma
onde
. Aqui aparecem oscilações amortecidas e possível overshoot; a amplitude final é
novamente.
Passo 7
Como esboçar (regra prática para a prova):
- Desenhe eixo horizontal
e vertical em volts. - Marque
(normalmente se condições iniciais nulas). - Marque
(use conhecido do sistema; se , o final é ). - Para 1ª ordem: desenhe uma rampa exponencial crescente que passa em
por do valor final. - Para 2ª ordem subamortecida: desenhe uma aproximação com overshoot e decaimento exponencial com frequência
. - Se o sistema for integrador puro, ou tiver pólos na origem, ou comportamento mais complexo, a forma muda — por isso é essencial conhecer
.
Passo 8
Conclusão prática e resposta final compacta que você pode usar na prova: sem a função de transferência não há uma única resposta. O procedimento é sempre:
Se o sistema for de primeira ordem com
, então a resposta no tempo é
Resposta
Se