Esboce a saída de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=u(t+1)-2 u(t)+u(t-1)
para as seguintes entradas:
(a) x(t)=u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso de um sistema LTI contínuo
h(t)=u(t+1)-2,u(t)+u(t-1)
e pede a saída y(t) quando a entrada é x(t)=u(t). O conteúdo aqui é convolução contínua de x(t) com h(t):
y(t)=x(t)*h(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau

Passo 2

Como x(tau)=u(tau), o integral reduz-se a
y(t)=integral0^inftyh(t-tau),dtau
porque u(tau)=0 para tau<0.

Passo 3

Substituindo h(t-tau), obtemos
y(t)=integral0^inftyl[u(t-tau+1)-2,u(t-tau)+u(t-tau-1)r],dtau
Cada termo é do tipo
integral0^inftyu(t-tau+a),dtau = t+a, & t+a>0, 0, & t+a<=0

Passo 4

Logo
y(t) =underbrace(t+1),u(t+1) I1 -2underbracet,u(t) I2 +underbrace(t-1),u(t-1) I3

Passo 5

Agora escrevemos y(t) em forma piecewise:
  • Para t < -1: u(t+1) = 0, u(t) = 0, u(t-1) = 0; Rightarrow y(t) = 0.
  • Para -1 <= t < 0: u(t+1) = 1, u(t) = 0, u(t-1) = 0; Rightarrow y(t) = t + 1.
  • Para 0 <= t < 1: u(t+1) = 1, u(t) = 1, u(t-1) = 0; Rightarrow y(t) = (t + 1) - 2t = 1 - t.
  • Para t >= 1: u(t+1) = 1, u(t) = 1, u(t-1) = 1; Rightarrow y(t) = (t + 1) - 2t + (t - 1) = 0.

Resposta

y(t)= 0, & t< -1, t+1, & -1<= t<0, 1 - t, & 0<= t<1, 0, & t>=1
Este resultado é um pulso triangular que cresce linearmente de zero em t=-1 até pico 1 em t=0 e decresce de volta a zero em t=1.

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