VII. Exemplos Adicionais

Exercícios 0.8.

1-Considere f(x, y)=lllx^2 y^2x^2+y^4, & se & (x, y) neq(0,0) ; 0, & se & (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que f é diferenciável em (0,0).
(b) As derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?
2-Seja f(x, y)=lllx y^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) ; 0, & se & (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que partial fpartial x(0, y)=y para todo y, e que partial fpartial y(x, 0)=0, para todo x.
(b) Verifique que partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0 e que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1.
3 - Seja f(x, y)=lllx^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) ; 0, & se & (x, y)=(0,0)
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Mostre que dd t f(gamma(t)) neq nabla f(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) em t=0, onde gamma(t)=(-t,-t).
(c) Seja u=(m, n) um vetor unitário (isto é, m^2+n^2=1 ). Use a definição de derivada direcional para calcular partial fpartial u(0,0).

Passo 1

O enunciado traz três funções de duas variáveis definidas por casos e faz três blocos de perguntas:
  1. Para mostrar que é diferenciável em [(0,0)) e discutir se as derivadas parciais são contínuas lá.
  2. Para e sobre eixos e calcular e .
  3. Para , mostrar que a regra da cadeia falha em certa curva e, por fim, achar a derivada direcional em direção unitária .

Passo 2

(1a) Diferenciabilidade de f em (0,0). Temos que provar
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)-0-0cdot x-0cdot y|raizx^2+y^2=lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|raizx^2+y^2=0
Para (x,y)neq(0,0),
|f(x,y)|=x^2y^2x^2+y^4<=x^2y^2x^2 =y^2<= x^2+y^2,
logo
|f(x,y)|raizx^2+y^2<=x^2+y^2raizx^2+y^2=raizx^2+y^2,xrightarrow[(x,y)to(0,0)]0
Isso mostra que f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo.

Passo 3

(1b) Continuidade das derivadas parciais. Primeiro,
Para calcula-se
Ao tomar a aproximação pela curva , nota-se que . Logo não é contínua em (e idem para ).

Passo 4

(2a) Para g, pelo diferencial em x:
partial gpartial x(0,y) =limhto0g(h,y)-g(0,y)h =limhto0tfrach,y^3h^2+y^2h =limhto0y^3h^2+y^2 =y
Pela diferencial em y:
partial gpartial y(x,0) =limkto0g(x,k)-g(x,0)k =limkto0tfracx,k^3x^2+k^2k =limkto0x,k^2x^2+k^2 =0

Passo 5

(2b) Cálculo das mistas em (0,0). Como partial g/partial y(x,0)=0 para todo x,
partial^2 gpartial xpartial y(0,0) =ddxl[partial g/partial y(x,0)r]|x=0 =0
Como partial g/partial x(0,y)=y para todo y,
partial^2 gpartial ypartial x(0,0) =ddyl[partial g/partial x(0,y)r]|y=0 =ddyy|y=0 =1

Passo 6

(3a) Para h,
partial hpartial x(0,0) =limhto0h^3/h^2h=limhto0hh=1, partial hpartial y(0,0)=0
Logo nabla h(0,0)=(1,0).

Passo 7

(3b) Sobre a curva gamma(t)=(-t,-t),
h(gamma(t))=-t^32t^2=- t2, ddth(gamma(t))|t=0=-tfrac12
Entretanto nabla h(0,0)cdotgamma'(0)=(1,0)cdot(-1,-1)=-1neq -tfrac12. A regra da cadeia falha em t=0.

Passo 8

(3c) Derivada direcional de h em (0,0) na direção vec u=(m,n) (com m^2+n^2=1) é
limhto0h(m)^3/(m^2+n^2),hh =m^31 =m^3

Resposta

1(a) f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo.
1(b) partial f/partial x(0,0)=partial f/partial y(0,0)=0, mas ambas não são contínuas em (0,0).
2(a) partial g/partial x(0,y)=y, partial g/partial y(x,0)=0.
2(b) partial^2 g/partial xpartial y(0,0)=0, partial^2 g/partial ypartial x(0,0)=1.
3(a) nabla h(0,0)=(1,0).
3(b) tfracddth(gamma(t))|t=0=-tfrac12neqnabla h(0,0)cdotgamma'(0)=-1.
3(c) partial h/partialvec u(0,0)=m^3.

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