1-Considere
(a) Mostre que f é diferenciável em (0,0).
(b) As derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?
2-Seja f(x, y)=lllx y^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) ; 0, & se & (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que partial fpartial x(0, y)=y para todo y, e que partial fpartial y(x, 0)=0, para todo x.
(b) Verifique que partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0 e que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1.
3 - Seja f(x, y)=lllx^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) ; 0, & se & (x, y)=(0,0)
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Mostre que dd t f(gamma(t)) neq nabla f(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) em t=0, onde gamma(t)=(-t,-t).
(c) Seja u=(m, n) um vetor unitário (isto é, m^2+n^2=1 ). Use a definição de derivada direcional para calcular partial fpartial u(0,0).
Passo 1
O enunciado traz três funções de duas variáveis definidas por casos e faz três blocos de perguntas:
Para mostrar que é diferenciável em [(0,0)) e discutir se as derivadas parciais são contínuas lá.
Para e sobre eixos e calcular e .
Para , mostrar que a regra da cadeia falha em certa curva e, por fim, achar a derivada direcional em direção unitária .
Passo 2
(1a) Diferenciabilidade de f em (0,0). Temos que provar