Exemplo - Uso do Teorema de Green para o calculo do Trabalho sobre uma curva que não é fechada

Um partícula move-se ao longo da circunferência y=raiz4-x^2 do ponto (2,0) até (-2,0). Determine o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força a seguir:
F(x, y)=(x+e^y^2, x^3+3 x y^2+2 x y e^y^2)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
integralC vec Fcdot dvec r
ao longo da curva C!: y=raiz4-x^2 do ponto (2,0) até (-2,0).
Conteúdo: usar o Teorema de Green fechando C com o segmento sobre o eixo x.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x+e^y^2, Q(x,y)=x^3+3xy^2+2xy,e^y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =3x^2+3y^2+2y,e^y^2, partial Ppartial y =2y,e^y^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =3x^2+3y^2

Passo 3

Fechamos C juntando o semi-círculo C1 (o dado) e o segmento C2 do ponto (-2,0) a (2,0). Esse caminho fechado é percorrido no sentido horário, então pelo Teorema de Green
ointC1+C2vec Fcdot dvec r =-integral duplaDl(partialxQ-partialyPr),dA,
onde D é o semi-disco x^2+y^2<=4,;y>=0.

Passo 4

Calculamos a integral dupla em coordenadas polares ( rin[0,2],;thetain[0,pi]):
integral duplaD3(x^2+y^2),dA =3integral0^piintegral0^2r^2,(r,dr,dtheta) =3pil[r^44r]0^2 =3picdot4 =12pi
Então
ointC1+C2vec Fcdot dvec r=-12pi

Passo 5

Agora calculamos a integral sobre o segmento C2colon(-2,0)to(2,0). Em y=0 temos
P(x,0)=x+1, Q(x,0)=x^3,
e dvec r=(dx,0), logo
integralC2vec Fcdot dvec r =integralx=-2^2(x+1),dx =l[tfracx^22+xr]-2^2 =4

Passo 6

Como
ointC1+C2vec Fcdot dvec r =integralC1vec Fcdot dvec r +integralC2vec Fcdot dvec r =-12pi,
temos
integralC1vec Fcdot dvec r =-12pi-integralC2vec Fcdot dvec r =-12pi-4

Resposta

boxed-12pi-4

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