Exemplo - Uso do Teorema de Green para o calculo do Trabalho sobre uma curva que não é fechada
Um partícula move-se ao longo da circunferência
do ponto
até
. Determine o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o trabalho
ao longo da curva
do ponto
até
.
Conteúdo: usar o Teorema de Green fechando com o segmento sobre o eixo
.
Conteúdo: usar o Teorema de Green fechando
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 3
Fechamos
juntando o semi-círculo
(o dado) e o segmento
do ponto
a
. Esse caminho fechado é percorrido no sentido horário, então pelo Teorema de Green
onde
é o semi-disco
.
Passo 4
Calculamos a integral dupla em coordenadas polares (
):
Então
Passo 5
Agora calculamos a integral sobre o segmento
. Em
temos
e
, logo
Passo 6
Como
temos