4- Esboce a seguinte quádrica:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a quádricas dada pela equação
Informações fornecidas: a equação explícita da superfície no espaço
. O pedido é um esboço (ou seja, identificar o tipo de superfície, suas propriedades geométricas principais e como desenhá‑la).
Passo 2
Reescrevo a equação na forma mais clara para classificar a superfície:
Observação direta: todos os termos são homogêneos de grau
(não há termos lineares nem constantes). Quando uma equação quadrática homogênea em
se anula assim, a superfície tem vértice na origem
e é um cone (ou “cone quádruco”) cujo vértice é a origem. Vou explicar por quê nos próximos passos.
Passo 3
Intuição: para entender a forma, passo a analisar seções transversais por planos paralelos ao plano
. Fixe um valor
com
. Substituindo na equação:
Essa é a equação de uma elipse no plano paralelo a
localizado na altura
. Para escrever em forma padrão, divido por
:
Logo, a seção em
é uma elipse com semi‑eixos:
e
Portanto, quanto maior
, maior a elipse: as elipses dilatam linearmente com
. Isso é característico de um cone de seção elíptica.
Passo 4
Analise a seção quando
. Substituindo:
A soma de dois quadrados é zero só quando cada um é zero, logo
e
. Assim a interseção com o plano
é apenas o ponto
: o vértice do cone está na origem.
Passo 5
Interseções com planos coordenados e linhas geradoras. Primeiro, considere o plano
. Substituindo:
Na seção
a superfície reduz‑se a duas retas que passam pela origem:
e
. Similarmente, no plano
:
Essas retas mostram que o cone é gerado por retas que saem da origem — isto é, é uma superfície regrada (feita de geratrizes) composta por duas “nappes” (uma para
e outra para
).
Passo 6
Interseção com um plano vertical geral que contém o eixo
. Tome o plano dado por
(é um plano que passa pela origem e pelo eixo
). Substituo
na equação:
Isto pode ser escrito como
No plano
a interseção é, portanto, duas retas
(com
). Conclusão: em qualquer plano que passe pela origem e pelo eixo
a interseção é um par de retas através da origem — mais uma vez confirma que a superfície é um cone duplo formado por geratrizes lineares.
Passo 7
Uma parametrização útil para desenhar/esboçar a superfície. A partir da observação em Passo 3, para
podemos escrever
e
, que satisfazem
Parametrizo essa elipse direcional por um ângulo
:
Voltando para
com parâmetro
(que controla a altura), obtemos a parametrização da superfície:
onde
e
. Para
obtemos a nappe superior; para
a nappe inferior.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido na prova):
- Desenhe o eixo
vertical e marque a origem . - Para um valor positivo
escolha, por exemplo, . A seção em é a elipse
com semi‑eixos
na direção
e
na direção
. Desenhe essa elipse num plano horizontal acima da origem.
3. Para desenhe a mesma elipse simetricamente abaixo da origem.
4. Ligue os pontos correspondentes das elipses por retas que passam pela origem — essas são as geratrizes do cone (por exemplo, as retas em :
).
5. Indique que as elipses crescem linearmente com (as semi‑eixos são proporcionais a
), mostrando assim que a superfície é um cone duplo (duas “tigelas” opostas) com eixo em
e vértice na origem.
6.Para reforçar, marque as interseções notáveis: no plano as retas
e no plano
as retas
.
3. Para
4. Ligue os pontos correspondentes das elipses por retas que passam pela origem — essas são as geratrizes do cone (por exemplo, as retas em
5. Indique que as elipses crescem linearmente com
6.Para reforçar, marque as interseções notáveis: no plano
Passo 9
Resumo das propriedades úteis para o esboço:
- Vértice:
. - Eixo: eixo
(simetria de revolução alongada no sentido de elipses — não é um cone circular, é elíptico). - Seção por
é elipse de semi‑eixos (eixo ) e (eixo ). - Superfície é um cone duplo (duas nappes) e é gerada por retas que passam pela origem; interseção com qualquer plano que contenha o eixo
é um par de retas.
Resposta
Cone duplo elíptico com vértice em
e eixo no eixo
; para
a seção é a elipse
com semi‑eixos
(direção
) e
(direção
).