4- Esboce a seguinte quádrica:
x^{2}+5 y^{2}=8 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a quádricas dada pela equação
x^{2}+5y^{2}=8z^{2}.
Informações fornecidas: a equação explícita da superfície no espaço (x,y,z). O pedido é um esboço (ou seja, identificar o tipo de superfície, suas propriedades geométricas principais e como desenhá‑la).

Passo 2

Reescrevo a equação na forma mais clara para classificar a superfície:
x^{2}+5y^{2}-8z^{2}=0.
Observação direta: todos os termos são homogêneos de grau 2 (não há termos lineares nem constantes). Quando uma equação quadrática homogênea em (x,y,z) se anula assim, a superfície tem vértice na origem (0,0,0) e é um cone (ou “cone quádruco”) cujo vértice é a origem. Vou explicar por quê nos próximos passos.

Passo 3

Intuição: para entender a forma, passo a analisar seções transversais por planos paralelos ao plano z=\text{constante}. Fixe um valor z=z_{0} com z_{0}\neq 0. Substituindo na equação:
x^{2}+5y^{2}=8z_{0}^{2}.
Essa é a equação de uma elipse no plano paralelo a xy localizado na altura z=z_{0}. Para escrever em forma padrão, divido por 8z_{0}^{2}:
\frac{x^{2}}{8z_{0}^{2}}+\frac{y^{2}}{8z_{0}^{2}/5}=1.
Logo, a seção em z=z_{0} é uma elipse com semi‑eixos:
a_{x}=\sqrt{8}\,|z_{0}|=2\sqrt{2}\,|z_{0}| \quad\text{(direção }x\text{)}çã
e
a_{y}=\sqrt{\frac{8}{5}}\,|z_{0}|=2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,|z_{0}| \quad\text{(direção }y\text{)}.çã
Portanto, quanto maior |z_{0}|, maior a elipse: as elipses dilatam linearmente com |z|. Isso é característico de um cone de seção elíptica.

Passo 4

Analise a seção quando z=0. Substituindo:
x^{2}+5y^{2}=0.
A soma de dois quadrados é zero só quando cada um é zero, logo x=0 e y=0. Assim a interseção com o plano z=0 é apenas o ponto (0,0,0): o vértice do cone está na origem.

Passo 5

Interseções com planos coordenados e linhas geradoras. Primeiro, considere o plano y=0. Substituindo:
x^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2\sqrt{2}\,z.
Na seção y=0 a superfície reduz‑se a duas retas que passam pela origem: x=2\sqrt{2}\,z e x=-2\sqrt{2}\,z. Similarmente, no plano x=0:
5y^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,z.
Essas retas mostram que o cone é gerado por retas que saem da origem — isto é, é uma superfície regrada (feita de geratrizes) composta por duas “nappes” (uma para z>0 e outra para z<0).

Passo 6

Interseção com um plano vertical geral que contém o eixo z. Tome o plano dado por y=m x (é um plano que passa pela origem e pelo eixo z). Substituo y=mx na equação:
x^{2}+5m^{2}x^{2}=8z^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}(1+5m^{2})=8z^{2}.
Isto pode ser escrito como
z=\pm x\sqrt{\frac{1+5m^{2}}{8}}.
No plano y=mx a interseção é, portanto, duas retas z=\pm k\,x (com k=\sqrt{(1+5m^{2})/8}). Conclusão: em qualquer plano que passe pela origem e pelo eixo z a interseção é um par de retas através da origem — mais uma vez confirma que a superfície é um cone duplo formado por geratrizes lineares.

Passo 7

Uma parametrização útil para desenhar/esboçar a superfície. A partir da observação em Passo 3, para z\neq 0 podemos escrever u=\dfrac{x}{z} e v=\dfrac{y}{z}, que satisfazem
u^{2}+5v^{2}=8.
Parametrizo essa elipse direcional por um ângulo \theta:
u=2\sqrt{2}\cos\theta,\qquad v=2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\sin\theta.
Voltando para x,y com parâmetro t=z (que controla a altura), obtemos a parametrização da superfície:
x=2\sqrt{2}\,t\cos\theta,\qquad y=2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,t\sin\theta,\qquad z=t,
onde t\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Para t>0 obtemos a nappe superior; para t<0 a nappe inferior.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe o eixo z vertical e marque a origem (0,0,0).
  2. Para um valor positivo z=z_{1} escolha, por exemplo, z_{1}=1. A seção em z=1 é a elipse
x^{2}+5y^{2}=8,
com semi‑eixos a_{x}=2\sqrt{2} na direção x e a_{y}=2\sqrt{2/5} na direção y. Desenhe essa elipse num plano horizontal acima da origem.
3. Para z=-1 desenhe a mesma elipse simetricamente abaixo da origem.
4. Ligue os pontos correspondentes das elipses por retas que passam pela origem — essas são as geratrizes do cone (por exemplo, as retas em y=0: x=\pm 2\sqrt{2}z).
5. Indique que as elipses crescem linearmente com |z| (as semi‑eixos são proporcionais a |z|), mostrando assim que a superfície é um cone duplo (duas “tigelas” opostas) com eixo em z e vértice na origem.
6.Para reforçar, marque as interseções notáveis: no plano y=0 as retas x=\pm 2\sqrt{2}z e no plano x=0 as retas y=\pm 2\sqrt{\tfrac{2}{5}}z.

Passo 9

Resumo das propriedades úteis para o esboço:
  • Vértice: (0,0,0).
  • Eixo: eixo z (simetria de revolução alongada no sentido de elipses — não é um cone circular, é elíptico).
  • Seção por z=z_{0} é elipse de semi‑eixos 2\sqrt{2}\,|z_{0}| (eixo x) e 2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,|z_{0}| (eixo y).
  • Superfície é um cone duplo (duas nappes) e é gerada por retas que passam pela origem; interseção com qualquer plano que contenha o eixo z é um par de retas.

Resposta

Cone duplo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo no eixo z; para z=z_{0} a seção é a elipse \;x^{2}+5y^{2}=8z_{0}^{2}\; com semi‑eixos 2\sqrt{2}\,|z_{0}| (direção x) e 2\sqrt{\tfrac{2}{5}}\,|z_{0}| (direção y).

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