Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.
Informações dadas: o integrando é e os limites de integração são
e
. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Informações dadas: o integrando é
Passo 2
Escolha do método: existem pelo menos duas formas fáceis de calcular essa integral: (a) expandir o quadrado e integrar termo a termo; (b) usar a substituição
. Vou usar a expansão porque é direta, simples e exige apenas regras básicas que você precisa dominar na prova. Depois mostro a substituição como verificação — assim você aprende as duas formas.
Passo 3
Expandindo o quadrado: usamos a identidade algébrica
. Aplicando com
e
obtemos
Agora a integral fica
Passo 4
Propriedades que vamos usar: linearidade da integral e a regra da constante. A linearidade diz que
e que uma constante pode sair da integral:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Regra do expoente (regra do potência) para primitivação: para
,
Usando isso para cada termo:
Então uma primitiva conjunta é
Passo 6
Teorema fundamental do cálculo (avaliar a primitiva nos limites): para integral definida,
onde
é a primitiva encontrada. Calculando:
Portanto
Passo 7
Verificação por substituição (opcional, para fixar): faça
, então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral vira
igual ao resultado anterior — tudo conferido.