\int_{0}^{1}(x-3)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1}(x-3)^{2}\,dx.
Informações dadas: o integrando é (x-3)^{2} e os limites de integração são x=0 e x=1. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método: existem pelo menos duas formas fáceis de calcular essa integral: (a) expandir o quadrado e integrar termo a termo; (b) usar a substituição u=x-3. Vou usar a expansão porque é direta, simples e exige apenas regras básicas que você precisa dominar na prova. Depois mostro a substituição como verificação — assim você aprende as duas formas.

Passo 3

Expandindo o quadrado: usamos a identidade algébrica (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Aplicando com a=x e b=3 obtemos
(x-3)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}=x^{2}-6x+9.
Agora a integral fica
\int_{0}^{1}(x-3)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)\,dx.

Passo 4

Propriedades que vamos usar: linearidade da integral e a regra da constante. A linearidade diz que
\int_{a}^{b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx
e que uma constante pode sair da integral:
\int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx-6\int_{0}^{1}x\,dx+9\int_{0}^{1}1\,dx.

Passo 5

Regra do expoente (regra do potência) para primitivação: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Usando isso para cada termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.
Então uma primitiva conjunta é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-6\cdot\frac{x^{2}}{2}+9x=\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}+9x.

Passo 6

Teorema fundamental do cálculo (avaliar a primitiva nos limites): para integral definida,
\int_{0}^{1}(x-3)^{2}\,dx=F(1)-F(0),
onde F é a primitiva encontrada. Calculando:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-3\cdot 1^{2}+9\cdot 1=\frac{1}{3}-3+9=\frac{1}{3}+6=\frac{19}{3},
F(0)=\frac{0^{3}}{3}-3\cdot 0^{2}+9\cdot 0=0.
Portanto
\int_{0}^{1}(x-3)^{2}\,dx=\frac{19}{3}.

Passo 7

Verificação por substituição (opcional, para fixar): faça u=x-3, então du=dx. Quando x=0 temos u=-3; quando x=1 temos u=-2. A integral vira
\int_{-3}^{-2}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-3}^{-2}=\frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-3)^{3}}{3}=\frac{-8}{3}-\frac{-27}{3}=\frac{19}{3},
igual ao resultado anterior — tudo conferido.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{3}

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