(2,0 ponto) Calcule \iiint x d V, onde E é o sólido limitado pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \iiint_E x\,dV, onde E é o sólido limitado pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Informações relevantes do enunciado:
  • A face inferior do sólido é o plano \displaystyle z=0.
  • A face superior do sólido é o plano \displaystyle z=x+y+5.
  • O sólido fica entre os cilindros \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 (raio interno) e \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 (raio externo).
  • A integral a calcular é a integral tripla da função x sobre esse sólido.

Passo 2

Escolha de coordenadas e explicação didática: como as superfícies que limitam a região no plano xy são cilindros com equações \displaystyle x^{2}+y^{2}=\text{constante}, é muito natural usar coordenadas cilíndricas. Vou explicar o que são e por que são úteis.
Definição e relações em coordenadas cilíndricas:
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis \displaystyle (r,\theta,z) onde \displaystyle r\ge0 é a distância ao eixo z, \displaystyle \theta é o ângulo polar, e \displaystyle z é o mesmo z cartesiano.
  • As relações de conversão são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O elemento de volume (Jacobiano) vale dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Motivo prático: os cilindros \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 e \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 tornam-se simplesmente \displaystyle r=1 e \displaystyle r=2, ou seja, limites constantes em r. Isso simplifica muito a integral.

Passo 3

Expressar as superfícies e os limites em coordenadas cilíndricas.
  • O cilindro interno \displaystyle x^{2}+y^{2}=1 vira \displaystyle r=1.
  • O cilindro externo \displaystyle x^{2}+y^{2}=4 vira \displaystyle r=2.
  • O plano superior \displaystyle z=x+y+5 em cilíndricas é z = r\cos\theta + r\sin\theta + 5 = r(\cos\theta+\sin\theta)+5.
  • O plano inferior é \displaystyle z=0.
Portanto os limites são:
1 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le z \le r(\cos\theta+\sin\theta)+5.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas cilíndricas, substituindo x e dV.
  • A função integranda é x. Em cilíndricas \displaystyle x = r\cos\theta.
  • O elemento de volume é \displaystyle dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Logo o integrando completo vira \displaystyle x\,dV = (r\cos\theta)(r\,dz\,dr\,d\theta) = r^{2}\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta.
A integral tripla fica então
\iiint_{E} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\,r(\cos\theta+\sin\theta)+5} r^{2}\cos\theta \;dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z (passo padrão: integrar a variável cuja dependência é simples).
A integral interna em z é
\int_{0}^{\,r(\cos\theta+\sin\theta)+5} r^{2}\cos\theta \;dz = r^{2}\cos\theta \cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{\,r(\cos\theta+\sin\theta)+5} = r^{2}\cos\theta\bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r^{2}\cos\theta\bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Expandir o integrando e separar integrais em r e \theta, usando identidades trigonométricas quando necessário.
Expansão:
r^{2}\cos\theta\bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr) = r^{3}\cos^{2}\theta \;+\; r^{3}\cos\theta\sin\theta \;+\; 5r^{2}\cos\theta.
Assim
\iiint_{E} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\bigl(r^{3}\cos^{2}\theta + r^{3}\cos\theta\sin\theta + 5r^{2}\cos\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Agora usamos propriedades das integrais em \theta sobre [0,2\pi]:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0 (seno e cosseno têm média zero num período completo).
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0 (função ímpar em relação a um deslocamento ou usar identidade \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta e integrar).
  • Para \cos^{2}\theta usamos a identidade de redução: \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},logo \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\Bigl[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Assim apenas o termo com \cos^{2}\theta contribui. Podemos separar produtos:
\iiint_{E} x\,dV = \left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right) + \left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right) + 5\left(\int_{1}^{2} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right).
Pelos argumentos acima, os dois últimos produtos são zero. Então
\iiint_{E} x\,dV = \left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcule as integrais em r e \theta:
  • Em \theta: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
  • Em r: \displaystyle \int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
Multiplicando:
\iiint_{E} x\,dV = \frac{15}{4}\cdot \pi = \frac{15\pi}{4}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é um número positivo porque a região está centrada em torno do eixo e a assimetria do plano superior (o termo +5) cria uma contribuição positiva média para x quando integrada sobre todo o círculo anular; a simetria angular fez desaparecer termos ímpares em \cos\theta e \cos\theta\sin\theta, sobrando apenas o termo com \cos^{2}\theta.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{4}

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