Esboce as seguintes curvas, indicando todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão:
a) f(x)=x^{3}-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva da função f e indicar todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão. A função dada é
f(x)=x^{3}-3x+2.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A expressão explícita de f(x).
  • Não há restrição de domínio (domínio é \mathbb{R}).
    O objetivo concreto: encontrar todos os pontos de máximo/minimo relativos e todos os pontos de inflexão; além disso, com essas informações esboçar a forma geral do gráfico.

Passo 2

Conceito e cálculo da derivada (para achar extremos e monotonicidade).
  • Lembrete didático: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) são candidatos a extremos relativos.
  • Calculemos f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x+2\bigr)=3x^{2}-3.
Podemos fatorar:
f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
  • Resolver 3(x-1)(x+1)=0
x=1\quad\text{e}\quad x=-1.
Esses são os únicos pontos onde a inclinação é zero; como f é polinomial, f' existe em todo \mathbb{R}, então não há outros pontos críticos.

Passo 4

Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da concavidade).
  • Lembrete didático: a segunda derivada f''(x) informa a concavidade. Se em um ponto crítico f''(x)>0, o ponto é mínimo local; se f''(x)<0, é máximo local. Se f''(x)=0, o teste é inconclusivo e precisa-se examinar sinais da derivada.
  • Calculemos f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-3\bigr)=6x.
Avaliar nos pontos críticos:
f''(-1)=6(-1)=-6<0 \quad\Rightarrow\quad \text{máximo relativo em }x=-1.á
f''(1)=6(1)=6>0 \quad\Rightarrow\quad \text{mínimo relativo em }x=1.í
Agora calculamos os valores de f nesses pontos para obter as coordenadas:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+2=-1+3+2=4,
f(1)=1^{3}-3(1)+2=1-3+2=0.
Portanto os pontos são (-1,4) (máximo relativo) e (1,0) (mínimo relativo).

Passo 5

Verificação por monotonicidade (tabela de sinais de f') — bom para confirmar e para o esboço.
  • Lembrete didático: analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo separado pelos pontos críticos indica onde a função cresce/decresce.
    Os zeros de f' são -1 e 1. Testando os sinais:
  • Para x<-1, escolha x=-2: f'(-2)=3(4-1)=9>0 f cresce em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<1, escolha x=0: f'(0)= -3<0 f decresce em (-1,1).
  • Para x>1, escolha x=2: f'(2)=3(4-1)=9>0 f cresce em (1,\infty).
    Isto confirma: crescimento → decrescimento → crescimento, logo máximo em -1 e mínimo em 1.

Passo 6

Ponto(s) de inflexão: onde f''(x)=0 e a concavidade muda.
  • Lembrete didático: ponto de inflexão é ponto onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice-versa; uma condição necessária (não suficiente sempre) é f''(x)=0 ou f'' indefinida.
  • Resolver f''(x)=6x=0 x=0.
    Verificamos a mudança de sinal de f'':
  • Para x<0, f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>0, f''(x)>0 (concavidade para cima).
    Logo há mudança de concavidade em x=0, então x=0 é um ponto de inflexão. Valor da função em x=0:
f(0)=0^{3}-3\cdot 0+2=2.
Portanto o ponto de inflexão é (0,2).

Passo 7

Outros detalhes úteis para o esboço (interceptos, fatoração, comportamento nas extremidades).
  • Intercepto em y: f(0)=2, já calculado — o ponto (0,2) é também o intercepto em y.
  • Raízes (interceptos em x): resolver f(x)=0.
    Fatorando:
f(x)=x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2).
Logo as raízes são x=1 (multiplicidade 2) e x=-2 (multiplicidade 1). Coordenadas: (1,0) e (-2,0).
Comentário didático sobre multiplicidade: raiz de multiplicidade par (aqui x=1) faz o gráfico “tocar e voltar” no eixo x (contato tangencial), enquanto multiplicidade ímpar (aqui x=-2) atravessa o eixo.
  • Comportamento nas extremidades (lead term): como o termo principal é x^{3} com coeficiente positivo, tem-se
\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
Isto dá a tendência global do esboço: sobe à direita e desce à esquerda.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar a curva (passo-a-passo de desenho à mão, sem calculadora):
  1. Trace os eixos cartesianos e marque a escala.
  2. Marque os pontos importantes:
    • Raízes: (-2,0) e (1,0).
    • Máximo relativo: (-1,4).
    • Mínimo relativo (e raiz dupla): (1,0).
    • Ponto de inflexão / intercepto em y: (0,2).
  3. Conecte esses pontos respeitando monotonicidade e concavidade:
    • Para x<-1: função crescente e côncava para baixo (aproxima-se de -\infty à esquerda e passa por (-2,0) subindo até (-1,4)).
    • Entre -1 e 0: função decrescente e ainda côncava para baixo (vai de (-1,4) descendo até (0,2)).
    • Em x=0: ponto de inflexão, a concavidade muda.
    • Entre 0 e 1: função continua decrescente, agora côncava para cima (desce até tocar o eixo em (1,0) — como raiz de multiplicidade 2, toca e volta).
    • Para x>1: função cresce e é côncava para cima, indo para +\infty.
  4. Desenhe uma curva suave que respeite estes comportamentos; observe que em (1,0) a tangente é horizontal (mínimo) e o gráfico não cruza o eixo x ali, apenas tangencia.

Resposta

Máximo relativo: (-1,4)
Mínimo relativo: (1,0)
Ponto de inflexão: (0,2)

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