Esboce as seguintes curvas, indicando todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva da função
e indicar todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão. A função dada é
Informações fornecidas que vamos usar:
- A expressão explícita de
. - Não há restrição de domínio (domínio é
).
O objetivo concreto: encontrar todos os pontos de máximo/minimo relativos e todos os pontos de inflexão; além disso, com essas informações esboçar a forma geral do gráfico.
Passo 2
Conceito e cálculo da derivada (para achar extremos e monotonicidade).
- Lembrete didático: a derivada
dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Pontos críticos (onde ou não existe) são candidatos a extremos relativos. - Calculemos
:
Podemos fatorar:
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo
.
- Resolver
dá
Esses são os únicos pontos onde a inclinação é zero; como
é polinomial,
existe em todo
, então não há outros pontos críticos.
Passo 4
Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da concavidade).
- Lembrete didático: a segunda derivada
informa a concavidade. Se em um ponto crítico , o ponto é mínimo local; se , é máximo local. Se , o teste é inconclusivo e precisa-se examinar sinais da derivada. - Calculemos
:
Avaliar nos pontos críticos:
Agora calculamos os valores de
nesses pontos para obter as coordenadas:
Portanto os pontos são
(máximo relativo) e
(mínimo relativo).
Passo 5
Verificação por monotonicidade (tabela de sinais de
) — bom para confirmar e para o esboço.
- Lembrete didático: analisar o sinal de
em cada intervalo separado pelos pontos críticos indica onde a função cresce/decresce.
Os zeros desão e . Testando os sinais: - Para
, escolha : ⇒ cresce em . - Para
, escolha : ⇒ decresce em . - Para
, escolha : ⇒ cresce em .
Isto confirma: crescimento → decrescimento → crescimento, logo máximo eme mínimo em .
Passo 6
Ponto(s) de inflexão: onde
e a concavidade muda.
- Lembrete didático: ponto de inflexão é ponto onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice-versa; uma condição necessária (não suficiente sempre) é
ou indefinida. - Resolver
dá .
Verificamos a mudança de sinal de: - Para
, (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
Logo há mudança de concavidade em, então é um ponto de inflexão. Valor da função em :
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Outros detalhes úteis para o esboço (interceptos, fatoração, comportamento nas extremidades).
- Intercepto em
: , já calculado — o ponto é também o intercepto em . - Raízes (interceptos em
): resolver .
Fatorando:
Logo as raízes são
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
). Coordenadas:
e
.
Comentário didático sobre multiplicidade: raiz de multiplicidade par (aqui ) faz o gráfico “tocar e voltar” no eixo
(contato tangencial), enquanto multiplicidade ímpar (aqui
) atravessa o eixo.
Comentário didático sobre multiplicidade: raiz de multiplicidade par (aqui
- Comportamento nas extremidades (lead term): como o termo principal é
com coeficiente positivo, tem-se
Isto dá a tendência global do esboço: sobe à direita e desce à esquerda.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar a curva (passo-a-passo de desenho à mão, sem calculadora):
- Trace os eixos cartesianos e marque a escala.
- Marque os pontos importantes:
- Raízes:
e . - Máximo relativo:
. - Mínimo relativo (e raiz dupla):
. - Ponto de inflexão / intercepto em
: .
- Raízes:
- Conecte esses pontos respeitando monotonicidade e concavidade:
- Para
: função crescente e côncava para baixo (aproxima-se de à esquerda e passa por subindo até ). - Entre
e : função decrescente e ainda côncava para baixo (vai de descendo até ). - Em
: ponto de inflexão, a concavidade muda. - Entre
e : função continua decrescente, agora côncava para cima (desce até tocar o eixo em — como raiz de multiplicidade 2, toca e volta). - Para
: função cresce e é côncava para cima, indo para .
- Para
- Desenhe uma curva suave que respeite estes comportamentos; observe que em
a tangente é horizontal (mínimo) e o gráfico não cruza o eixo ali, apenas tangencia.
Resposta
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Ponto de inflexão:
Mínimo relativo:
Ponto de inflexão: