Esboce as seguintes curvas, indicando todos os pontos extremos relativos e pontos de inflexão:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a curva e indique todos os pontos extremos relativos e os pontos de inflexão da função dada. A função fornecida é:
Informações que temos explicitamente:
- A expressão analítica de
. - Precisamos encontrar todos os extremos relativos (máximos e mínimos locais) e todos os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda).
Nenhuma outra informação (figura, restrição de domínio, etc.) foi dada, então trabalho com o domínio natural.
Passo 2
Vou lembrar rapidamente do que usar para achar extremos relativos: calcular a derivada primeira
, encontrar os pontos críticos onde
ou onde
não existe (aqui
existe para todo
), e então usar o teste da derivada (ou o teste da segunda derivada) para classificar. Vou calcular a derivada termo a termo.
Calculemos
. Derivando cada termo:
Portanto,
Passo 3
Agora vou resolver
para encontrar pontos críticos. Primeiro fatoro
:
Assim,
Então existe um único ponto crítico
. Vou analisar o sinal de
para entender monotonicidade e se há máximo/minimo.
Observe que
para todo
, e é igual a zero somente em
. Logo
para todo
, e
para
. Isso significa:
- A função é crescente para
(mais precisamente: estritamente crescente em cada intervalo que não contenha ). - A função é crescente para
. - Em
a derivada é mas o sinal de não muda (fica positivo de ambos os lados). Portanto não há nem máximo nem mínimo relativo em .
Resumo até aqui: não existem extremos relativos (nenhum máximo local nem mínimo local).
Passo 4
Agora procuro pontos de inflexão. A condição necessária para um ponto de inflexão é que a segunda derivada se anule (ou seja indefinida) e que haja troca de concavidade. Vou calcular a segunda derivada.
Derivando
:
Resolver
:
Então a segunda derivada se anula em
. Agora verifico a troca de concavidade: escolho um ponto à esquerda de
(por exemplo
) e um à direita (por exemplo
):
Como
muda de negativo para positivo ao atravessar
, há de fato uma mudança de concavidade: portanto
é um ponto de inflexão.
Calcule o valor da função nesse ponto para obter as coordenadas do ponto de inflexão:
Logo o ponto de inflexão é
. Note que esse ponto é também um ponto crítico (pois
), isto é, temos uma inflexão estacionária (tangente horizontal no ponto de inflexão).
Passo 5
Interpretação geométrica e comportamento da curva (para esboçar sem calculadora):
- Como mostramos,
com igualdade só em . Assim a função é crescente em toda a reta real, com uma “lenta” variação (plano horizontal) exatamente em . - A concavidade muda de côncava para baixo (à esquerda de
) para côncava para cima (à direita de ). Esse é o comportamento típico de uma cúbica com inflexão central. - Observação prática que facilita o esboço: reescrever
como um cubo deslocado. Note que
então
Isto mostra que o gráfico é o gráfico de
deslocado de 2 unidades para a direita (em
) e 2 unidades para cima (em
). O gráfico típico de
tem um ponto de inflexão na origem com tangente horizontal no caso de
, e aqui o ponto correspondente é
.
Passo 6
Pontos auxiliares para desenhar (valores fáceis para plotagem):
Esses pontos mostram a forma: passa por
, sobe para
, atinge a “planura” em
(inflection com tangente horizontal) e segue subindo para
e
. Use uma curva suave que é côncava para baixo antes de
e côncava para cima depois.
Passo 7
Conclusão clara e curta (o que o enunciado pediu): não há extremos relativos; há um único ponto de inflexão em
, que é um ponto de inflexão estacionário (tangente horizontal). Dica final: ao esboçar, desenhe eixos, marque os pontos citados e ligue com uma curva cubicamente suave que muda concavidade em
.
Resposta
Extremos relativos: nenhum.
Pontos de inflexão: (ponto de inflexão com tangente horizontal).
Pontos de inflexão: