Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
28. \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}} dx\,dz\,dy.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Variáveis de integração e ordem: primeiro x (limites dependem de y), depois z (limites dependem de y), por último y.
  • Limites:
    • 0 \le y \le 2.
    • Para cada y fixo: 0 \le z \le 2-y.
    • Para cada y fixo: 0 \le x \le 4-y^{2}.
      O que é pedido: esboçar (desenhar/identificar) a região sólida do espaço cujos pontos satisfazem essas desigualdades.

Passo 2

Traduzir a integral em descrição do conjunto (região R). A integral corresponde ao conjunto de pontos (x,y,z) tais que as três desigualdades dos limites são satisfeitas simultaneamente. Logo
R=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le z\le 2-y,\;0\le x\le 4-y^{2}\}.
Isto é, para cada y entre 0 e 2 há um retângulo em x- z com x variando de 0 até 4-y^{2} e z variando de 0 até 2-y.

Passo 3

Determinar a projeção da região no plano y- z (útil para esboçar). Ignorando x (colapsando sobre o eixo x), a projeção é
D=\{(y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le z\le 2-y\}.
Essa é um triângulo retângulo no plano y- z com vértices em (y,z)=(0,0),\;(2,0),\;(0,2). É útil desenhar esse triângulo primeiro: eixo horizontal y de 0 a 2, eixo vertical z de 0 a 2, e a reta superior z=2-y.

Passo 4

Analisar as secções transversais para compreender a forma do sólido (método prático de desenho). Fixe um valor de y\in[0,2]. Para esse y a seção do sólido em plano paralelo ao eixo x z é
\{(x,z)\mid 0\le z\le 2-y,\;0\le x\le 4-y^{2}\},
ou seja, um retângulo com:
  • altura em z igual a 2-y (varia linearmente com y),
  • largura em x igual a 4-y^{2} (varia com uma parábola em y).
Exemplos numéricos para ajudar a desenhar:
  • y=0: retângulo 0\le z\le 2,\;0\le x\le 4.
  • y=1: retângulo 0\le z\le 1,\;0\le x\le 3.
  • y=2: retângulo degenerado 0\le z\le 0,\;0\le x\le 0 (apenas o ponto na origem).
Esses retângulos encolhem em z de forma linear e em x de forma parabólica quando y cresce de 0 a 2.

Passo 5

Identificar as superfícies que limitam o sólido (para desenhar as fronteiras):
  • Plano z=0 (fundo do sólido).
  • Plano x=0 (plano vertical que corta o sólido).
  • Plano y=0 e plano y=2 (limites em y; y=2 reduz a seção a um ponto).
  • Plano inclinado z=2-y (ou seja, a superfície definida por y+z=2); é uma face plana que desce linearmente com y.
  • Superfície parabólica x=4-y^{2}: é um cilindro parabólico (não depende de x em outra variável) que, visto na direção do eixo x, tem contorno parabólico na seção x- y (abertura no sentido negativo de y ou positiva de x dependendo da vista). Essa superfície limita o sólido no lado de x (fechando a largura dos retângulos).

Passo 6

Como esboçar passo a passo (receita prática, faça no papel):
  1. Desenhe três eixos ortogonais: escolha x para a direita, y para a frente (ou para a direita no plano do papel), z para cima.
  2. No plano y- z (pode ser o plano vertical que fica “para trás”), desenhe o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2) correspondente à projeção D. Marque a reta superior z=2-y.
  3. Para alguns valores marcantes de y (por exemplo y=0,1,2) desenhe as seções retangulares no plano x z:
    • Em y=0: desenhe um retângulo de x de 0 a 4 e de z de 0 a 2.
    • Em y=1: desenhe atrás do primeiro (ou deslocado) um retângulo de x de 0 a 3 e z de 0 a 1.
    • Em y=2: o retângulo reduz a um ponto na origem.
  4. Una as arestas correspondentes desses retângulos suavemente: as arestas superiores em x formam a superfície parabólica x=4-y^{2}; as arestas superiores em z formam a face plana z=2-y.
  5. Apague linhas ocultas ou trace-as tracejadas para visualização 3D. O resultado será um sólido com base triangular projetada no plano y- z, com espessura em x variando parabólicamente.

Passo 7

Interpretação geométrica final (resumo didático e check numérico): o sólido está no primeiro octante, limitado lateralmente pela superfície parabólica x=4-y^{2} e superiormente pelo plano inclinado z=2-y. As seções transversais para cada y são retângulos de largura 4-y^{2} e altura 2-y. Como verificação rápida, dá para calcular o volume integrando:
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y}\int_{0}^{4-y^{2}} dx\,dz\,dy =\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y} (4-y^{2})\,dz\,dy =\int_{0}^{2} (4-y^{2})(2-y)\,dy.
Expandindo e integrando obtém-se
V=\int_{0}^{2} \bigl(8-4y-2y^{2}+y^{3}\bigr)dy=\left[8y-2y^{2}-\tfrac{2}{3}y^{3}+\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{2}=\tfrac{20}{3},
confirmando que o sólido descrito tem volume 20/3 unidades cúbicas (útil como checagem do esboço).

Resposta

R=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le z\le 2-y,\;0\le x\le 4-y^{2}\}\n \text{Volume}=\dfrac{20}{3}

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