Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
28. \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
28. \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada
Informações fornecidas (pego do enunciado):
- Variáveis de integração e ordem: primeiro
(limites dependem de ), depois (limites dependem de ), por último . - Limites:
-
. - Para cada
fixo: . - Para cada
fixo: .
O que é pedido: esboçar (desenhar/identificar) a região sólida do espaço cujos pontos satisfazem essas desigualdades.
-
Passo 2
Traduzir a integral em descrição do conjunto (região
). A integral corresponde ao conjunto de pontos
tais que as três desigualdades dos limites são satisfeitas simultaneamente. Logo
Isto é, para cada
entre
e
há um retângulo em
-
com
variando de
até
e
variando de
até
.
Passo 3
Determinar a projeção da região no plano
-
(útil para esboçar). Ignorando
(colapsando sobre o eixo
), a projeção é
Essa é um triângulo retângulo no plano
-
com vértices em
. É útil desenhar esse triângulo primeiro: eixo horizontal
de
a
, eixo vertical
de
a
, e a reta superior
.
Passo 4
Analisar as secções transversais para compreender a forma do sólido (método prático de desenho). Fixe um valor de
. Para esse
a seção do sólido em plano paralelo ao eixo
é
ou seja, um retângulo com:
- altura em
igual a (varia linearmente com ), - largura em
igual a (varia com uma parábola em ).
Exemplos numéricos para ajudar a desenhar:
-
: retângulo . -
: retângulo . -
: retângulo degenerado (apenas o ponto na origem).
Esses retângulos encolhem em
de forma linear e em
de forma parabólica quando
cresce de
a
.
Passo 5
Identificar as superfícies que limitam o sólido (para desenhar as fronteiras):
- Plano
(fundo do sólido). - Plano
(plano vertical que corta o sólido). - Plano
e plano (limites em ; reduz a seção a um ponto). - Plano inclinado
(ou seja, a superfície definida por ); é uma face plana que desce linearmente com . - Superfície parabólica
: é um cilindro parabólico (não depende de em outra variável) que, visto na direção do eixo , tem contorno parabólico na seção - (abertura no sentido negativo de ou positiva de dependendo da vista). Essa superfície limita o sólido no lado de (fechando a largura dos retângulos).
Passo 6
Como esboçar passo a passo (receita prática, faça no papel):
- Desenhe três eixos ortogonais: escolha
para a direita, para a frente (ou para a direita no plano do papel), para cima. - No plano
- (pode ser o plano vertical que fica “para trás”), desenhe o triângulo com vértices correspondente à projeção . Marque a reta superior . - Para alguns valores marcantes de
(por exemplo ) desenhe as seções retangulares no plano : - Em
: desenhe um retângulo de de a e de de a . - Em
: desenhe atrás do primeiro (ou deslocado) um retângulo de de a e de a . - Em
: o retângulo reduz a um ponto na origem.
- Em
- Una as arestas correspondentes desses retângulos suavemente: as arestas superiores em
formam a superfície parabólica ; as arestas superiores em formam a face plana . - Apague linhas ocultas ou trace-as tracejadas para visualização 3D. O resultado será um sólido com base triangular projetada no plano
- , com espessura em variando parabólicamente.
Passo 7
Interpretação geométrica final (resumo didático e check numérico): o sólido está no primeiro octante, limitado lateralmente pela superfície parabólica
e superiormente pelo plano inclinado
. As seções transversais para cada
são retângulos de largura
e altura
. Como verificação rápida, dá para calcular o volume integrando:
Expandindo e integrando obtém-se
confirmando que o sólido descrito tem volume
unidades cúbicas (útil como checagem do esboço).