\iiint_{B} \sqrt{x} e^{x y z} d V, onde
[
B={(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2}
]

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{B} \sqrt{x}\,e^{x y z}\,dV,
onde o domínio é o paralelepípedo
B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 4,\;0\le y\le 1,\;0\le z\le 2\}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é \sqrt{x}\,e^{x y z}.
  • Os limites são retangulares e independentes: x\in[0,4], y\in[0,1], z\in[0,2].
  • Pede-se calcular a integral tripla sobre B (um único valor numérico/expressão).

Passo 2

Estratégia e justificativa (sem ainda calcular): como a região é um produto cartesiano simples, podemos usar integração iterada e escolher uma ordem conveniente. Uma boa escolha é integrar primeiro em y porque a exponencial depende de y linearmente no produto x y z. Fazer \displaystyle\int_{y=0}^{1} e^{x y z}\,dy produz uma expressão simples em termos de e^{x z}. Depois transformaremos a integral em variáveis que simplifiquem a próxima integração em z (troca t=x z). No percurso teremos que cuidar do caso x=0 ou z=0, mas esses pontos são regulares porque o integrando é bem comportado (ver explicação nos passos seguintes).

Passo 3

Integração em y. Para x e z fixos,
\int_{0}^{1} e^{x y z}\,dy
é uma integral imediata da forma \int e^{a y}\,dy = \frac{1}{a}e^{a y} quando a\neq0. Aqui a = x z. Assim, para x z\neq0,
\int_{0}^{1} e^{x y z}\,dy = \frac{1}{x z}\bigl(e^{x z}-1\bigr).
Observação sobre o caso x z=0: se x=0 ou z=0 então e^{x y z}=e^{0}=1 e \int_0^1 1\,dy=1. A expressão \frac{e^{x z}-1}{x z} tem limite igual a 1 quando x z\to0 (pela expansão e^{u}=1+u+\cdots), logo a forma escrita é contínua por extensão no ponto x z=0. Portanto podemos usar a expressão geral entendendo o valor limite quando necessário.
Multiplicando pelo fator \sqrt{x} que ficou fora ao integrar em y, obtemos a integral iterada sobre x e z:
\iint_{[0,4]\times[0,2]} \sqrt{x}\,\frac{e^{x z}-1}{x z}\,dz\,dx.
Simplificando \sqrt{x}/x = 1/\sqrt{x}, isso vira
\int_{x=0}^{4} \int_{z=0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{e^{x z}-1}{z}\,dz\,dx.

Passo 4

Troca de variável na integração em z. Para cada x fixo, faça t=x z. Então z=t/x e dz=dt/x. Quando z vai de 0 a 2, t vai de 0 a 2x. Substituindo:
\int_{z=0}^{2} \frac{e^{x z}-1}{z}\,dz = \int_{t=0}^{2x} \frac{e^{t}-1}{t}\,dt,
pois
\frac{e^{x z}-1}{z}\,dz = \frac{e^{t}-1}{t/x}\cdot\frac{dt}{x} = \frac{e^{t}-1}{t}\,dt.
Assim a integral total fica
\int_{x=0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\int_{t=0}^{2x} \frac{e^{t}-1}{t}\,dt\right)dx.

Passo 5

Troca de ordem entre x e t. A região em (x,t) é dada por
0\le x\le 4,\qquad 0\le t\le 2x.
Ao inverter a ordem, t varia de 0 até 2\cdot 4=8, e para cada t temos x variando de t/2 até 4. Portanto
\int_{x=0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\int_{t=0}^{2x} \frac{e^{t}-1}{t}\,dt\right)dx = \int_{t=0}^{8} \frac{e^{t}-1}{t}\left(\int_{x=t/2}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\right)dt.
Calcule a integral em x:
\int_{x=t/2}^{4} x^{-1/2}\,dx = \bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{t/2}^{4} = 2\sqrt{4}-2\sqrt{t/2}=4-2\sqrt{\tfrac{t}{2}}.
Simplificando \sqrt{t/2}=\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{2}}, obtemos
\int_{x=t/2}^{4} x^{-1/2}\,dx = 4-\sqrt{2}\,\sqrt{t}.
Logo a integral total é
\int_{0}^{8} \frac{e^{t}-1}{t}\,\bigl(4-\sqrt{2}\,\sqrt{t}\bigr)\,dt.

Passo 6

Separe a integral em duas partes e trate cada uma:
\iiint_B \sqrt{x}\,e^{x y z}\,dV = 4\int_{0}^{8}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt \;-\; \sqrt{2}\int_{0}^{8}\frac{e^{t}-1}{t}\,\sqrt{t}\,dt.
Trate a primeira integral. Existe a identidade conhecida
\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt = \operatorname{Ei}(x)-\gamma-\ln x,
onde \operatorname{Ei}(x) é a função exponencial integral e \gamma é a constante de Euler–Mascheroni. (Essa identidade vem da expansão em série de e^{t} e da definição principal de \operatorname{Ei}; não é necessário decorar a derivação aqui, basta saber que é uma forma padrão.) Aplicando para x=8,
\int_{0}^{8}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt = \operatorname{Ei}(8)-\gamma-\ln 8.
Portanto a primeira parte vale
4\bigl(\operatorname{Ei}(8)-\gamma-\ln 8\bigr).

Passo 7

Trate a segunda integral
I=\int_{0}^{8}\frac{e^{t}-1}{t}\,\sqrt{t}\,dt = \int_{0}^{8}(e^{t}-1)\,t^{-1/2}\,dt.
Faça a substituição t=u^{2} ( u=\sqrt{t}). Então dt=2u\,du e t^{-1/2}dt=2\,du. Os limites: t=0\mapsto u=0, t=8\mapsto u=2\sqrt{2}. Assim
I=2\int_{0}^{2\sqrt{2}}\bigl(e^{u^{2}}-1\bigr)\,du.
Separe a integral:
I = 2\left(\int_{0}^{2\sqrt{2}} e^{u^{2}}\,du - \int_{0}^{2\sqrt{2}} 1\,du\right) = 2\int_{0}^{2\sqrt{2}} e^{u^{2}}\,du - 4\sqrt{2}.
A primitiva de e^{u^{2}} não é elementar, mas é expressa pela função erro imaginária \operatorname{erfi}:
\int_{0}^{a} e^{u^{2}}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(a).
Aplicando com a=2\sqrt{2},
I = 2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} = \sqrt{\pi}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2}.
Multiplicando pelo fator \sqrt{2} que estava fora na Passo 6, obtemos a segunda parte completa:
\sqrt{2}\,I = \sqrt{2\pi}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) - 8.

Passo 8

Junte as duas partes e simplifique:
\iiint_{B}\sqrt{x}\,e^{x y z}\,dV = 4\bigl(\operatorname{Ei}(8)-\gamma-\ln 8\bigr) \;-\; \bigl(\sqrt{2\pi}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) - 8\bigr).
Reorganizando termos:
\iiint_{B}\sqrt{x}\,e^{x y z}\,dV = 4\,\operatorname{Ei}(8) - 4\gamma - 4\ln 8 - \sqrt{2\pi}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) + 8.
Observação final curta: esta é uma expressão exata em termos das funções especiais \operatorname{Ei} e \operatorname{erfi}. Se for necessário um valor numérico, pode-se avaliar numericamente essas funções com uma calculadora simbólica ou software.

Resposta

4\,\operatorname{Ei}(8) - 4\gamma - 4\ln 8 - \sqrt{2\pi}\,\operatorname{erfi}(2\sqrt{2}) + 8

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