\iiint_{B} \sqrt{x} e^{x y z} d V, onde
[
B={(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2}
]
[
B={(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2}
]
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
onde o domínio é o paralelepípedo
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
. - Os limites são retangulares e independentes:
, , . - Pede-se calcular a integral tripla sobre
(um único valor numérico/expressão).
Passo 2
Estratégia e justificativa (sem ainda calcular): como a região é um produto cartesiano simples, podemos usar integração iterada e escolher uma ordem conveniente. Uma boa escolha é integrar primeiro em
porque a exponencial depende de
linearmente no produto
. Fazer
produz uma expressão simples em termos de
. Depois transformaremos a integral em variáveis que simplifiquem a próxima integração em
(troca
). No percurso teremos que cuidar do caso
ou
, mas esses pontos são regulares porque o integrando é bem comportado (ver explicação nos passos seguintes).
Passo 3
Integração em
. Para
e
fixos,
é uma integral imediata da forma
quando
. Aqui
. Assim, para
,
Observação sobre o caso
: se
ou
então
e
. A expressão
tem limite igual a
quando
(pela expansão
), logo a forma escrita é contínua por extensão no ponto
. Portanto podemos usar a expressão geral entendendo o valor limite quando necessário.
Multiplicando pelo fator
que ficou fora ao integrar em
, obtemos a integral iterada sobre
e
:
Simplificando
, isso vira
Passo 4
Troca de variável na integração em
. Para cada
fixo, faça
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo:
pois
Assim a integral total fica
Passo 5
Troca de ordem entre
e
. A região em
é dada por
Ao inverter a ordem,
varia de
até
, e para cada
temos
variando de
até
. Portanto
Calcule a integral em
:
Simplificando
, obtemos
Logo a integral total é
Passo 6
Separe a integral em duas partes e trate cada uma:
Trate a primeira integral. Existe a identidade conhecida
onde
é a função exponencial integral e
é a constante de Euler–Mascheroni. (Essa identidade vem da expansão em série de
e da definição principal de
; não é necessário decorar a derivação aqui, basta saber que é uma forma padrão.) Aplicando para
,
Portanto a primeira parte vale
Passo 7
Trate a segunda integral
Faça a substituição
(
). Então
e
. Os limites:
,
. Assim
Separe a integral:
A primitiva de
não é elementar, mas é expressa pela função erro imaginária
:
Aplicando com
,
Multiplicando pelo fator
que estava fora na Passo 6, obtemos a segunda parte completa:
Passo 8
Junte as duas partes e simplifique:
Reorganizando termos:
Observação final curta: esta é uma expressão exata em termos das funções especiais
e
. Se for necessário um valor numérico, pode-se avaliar numericamente essas funções com uma calculadora simbólica ou software.