Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(g) y>2 x^{2} e y+2 x<4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o subconjunto do plano formado pelos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
y > 2x^{2}
e
y + 2x < 4.
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos traçar a parábola y=2x^{2} e a reta y=4-2x, encontrar onde a reta fica acima da parábola, e então sombrear a região comum a essas duas condições.

Passo 2

Traçamos primeiro a parábola de equação
y = 2x^{2},
que é côncava para cima, com vértice em (0,0). Ela cresce simetricamente para y>0 conforme \lvert x\rvert aumenta.

Passo 3

Em seguida, traçamos a reta de equação
y = 4 - 2x,
que tem coeficiente angular -2 e intercepto em y=4. É uma reta decrescente, cruzando o eixo y em (0,4) e o eixo x em \bigl(2,0\bigr).

Passo 4

Para saber onde as curvas se cruzam, resolvemos
2x^{2} = 4 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2} + 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + x - 2 = 0.
O discriminante é \Delta = 1 + 8 = 9, portanto
x = \frac{-1 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Os pontos de interseção são
(1,\,2)\quad\text{e}\quad(-2,\,8).

Passo 5

Para saber em que intervalo de x a reta fica acima da parábola, basta testar um valor intermediário, por exemplo x=0:
\text{parábola: }y=2\cdot 0^{2}=0, \quad \text{reta: }y=4-2\cdot0=4,á
logo 4>0. Assim, a reta está acima da parábola para -2<x<1. Fora desse intervalo, 2x^{2} ultrapassa 4-2x e não há pontos em comum que satisfaçam ambas as desigualdades.

Passo 6

O subconjunto pedido é, portanto, a região aberta delimitada abaixo pela reta y=4-2x e acima da parábola y=2x^{2}, com x variando entre -2 e 1. No esboço, desenhe as duas curvas, marque os pontos de interseção (-2,8) e (1,2) e sombreie a “fatia” entre elas, sem incluir as próprias curvas (porque as desigualdades são estritas).

Resposta

O conjunto esboçado é
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2 < x < 1,\;2x^{2} < y < 4 - 2x\bigr\}.

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