Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(h) y=x^{2} e x+y=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do subconjunto do plano definido simultaneamente pelas equações y=x^{2} e x+y=1. O conteúdo é achar a interseção geométrica entre uma parábola e uma reta num sistema cartesiano.

Passo 2

Para esboçar a parábola y=x^{2}, lembramos que é uma curva com vértice em (0,0), concavidade para cima e simetria em relação ao eixo y. Basta marcar pontos-chave como (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) e traçar o arco.
Para esboçar a reta x+y=1, escrevemos y=1-x. É uma reta de coeficiente angular -1 que intercepta o eixo y em (0,1) e o eixo x em (1,0). Traçamos a linha passando por esses pontos.

Passo 3

Os pontos de interseção satisfazem simultaneamente
y=x^{2},\quad y=1-x.
Substituindo, obtemos a equação quadrática
x^{2} + x - 1 = 0.
Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Em seguida, y = 1 - x
y = 1 - \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \mp \sqrt{5}}{2}.

Passo 4

No esboço, marca-se os dois pontos de interseção
\left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\,\frac{3+\sqrt5}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\,\frac{3-\sqrt5}{2}\right).
O subconjunto buscado é exatamente esse par de pontos.

Resposta

\left\{\left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\,\frac{3+\sqrt5}{2}\right),\;\left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\,\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\right\}

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