Esboce a superfície de nível f(x, y, z)=k
w=x^{2}+9 y^{2} ; k=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície de nível dada por f(x,y,z)=k. As informações fornecidas são:
w = x^{2} + 9y^{2}
e o nível pedido é k=1.
Portanto precisamos desenhar o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem a equação dada pelo nível k=1. Não há outras informações/condições no enunciado.

Passo 2

Escrevemos a equação do nível substituindo w=k:
x^{2}+9y^{2}=1.
Observação importante: essa equação não contém z. Isso significa que a condição envolve apenas x e y; o valor de z pode ser qualquer número real. Vou explicar o que isso implica para a forma da superfície.

Passo 3

Para entender a curva no plano xy definida por x^{2}+9y^{2}=1, lembro a forma padrão da elipse:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a e b são os semi-eixos (distâncias positivas dos centros aos vértices ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Agora colocamos nossa equação nessa forma. Reescrevo:
x^{2}+9y^{2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1.
Daí vemos que os semi-eixos são
a=1\quad\text{(direção \(x\))},\qquad b=\tfrac{1}{3}\quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Isso nos dá os interceptos com os eixos: x=\pm 1 quando y=0, e y=\pm \tfrac{1}{3} quando x=0.

Passo 4

Agora volto à dependência em z. Como a equação não envolve z, qualquer ponto (x,y) que satisfaça a elipse no plano gera uma reta inteira na direção z: \{(x,y,z)\mid z\in\mathbb{R}\}. A reunião de todas essas retas é um cilindro cuja seção transversal no plano z= constante é sempre a mesma elipse. Portanto a superfície é um cilindro elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo z.

Passo 5

Uma parametrização simples para escrever essa superfície é usar um parâmetro angular t para a elipse e um parâmetro s para a direção do eixo (o z):
x=\cos t,\qquad y=\tfrac{1}{3}\sin t,\qquad z=s,
com t\in[0,2\pi) e s\in\mathbb{R}. Isso gera exatamente todos os pontos que satisfazem x^{2}+9y^{2}=1.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe o plano xy (visão de cima) e marque os pontos (\pm 1,0) e (0,\pm \tfrac{1}{3}). Trace uma elipse passando por esses quatro pontos (mais longa em x, bem mais curta em y).
  2. Em um desenho 3D de perspectiva, coloque essa elipse como a “base” e, a partir de vários pontos da elipse, trace retas verticais (paralelas ao eixo z) para cima e para baixo — isso mostra a extrusão da elipse ao longo de z.
  3. Opcional: marque algumas curvas de nível para planos horizontais, por exemplo interseções com z=0 (a própria elipse), z=1, z=-1 (mesmas elipses deslocadas verticalmente).

Resposta

Cilindro elíptico definido por x^{2}+9y^{2}=1, com eixo paralelo ao eixo z. Semi-eixos: a=1 (direção x) e b=\tfrac{1}{3} (direção y). Parametrização: x=\cos t,\; y=\tfrac{1}{3}\sin t,\; z=s com t\in[0,2\pi),\; s\in\mathbb{R}.

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