Esboce a superfície de nível
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície de nível dada por
. As informações fornecidas são:
e o nível pedido é
.
Portanto precisamos desenhar o conjunto de pontos que satisfazem a equação dada pelo nível
. Não há outras informações/condições no enunciado.
Portanto precisamos desenhar o conjunto de pontos
Passo 2
Escrevemos a equação do nível substituindo
:
Observação importante: essa equação não contém
. Isso significa que a condição envolve apenas
e
; o valor de
pode ser qualquer número real. Vou explicar o que isso implica para a forma da superfície.
Passo 3
Para entender a curva no plano
definida por
, lembro a forma padrão da elipse:
onde
e
são os semi-eixos (distâncias positivas dos centros aos vértices ao longo dos eixos
e
, respectivamente). Agora colocamos nossa equação nessa forma. Reescrevo:
Daí vemos que os semi-eixos são
Isso nos dá os interceptos com os eixos:
quando
, e
quando
.
Passo 4
Agora volto à dependência em
. Como a equação não envolve
, qualquer ponto
que satisfaça a elipse no plano gera uma reta inteira na direção
:
. A reunião de todas essas retas é um cilindro cuja seção transversal no plano
constante é sempre a mesma elipse. Portanto a superfície é um cilindro elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo
.
Passo 5
Uma parametrização simples para escrever essa superfície é usar um parâmetro angular
para a elipse e um parâmetro
para a direção do eixo (o
):
com
e
. Isso gera exatamente todos os pontos que satisfazem
.
Passo 6
Como esboçar na prática (passo-a-passo para desenhar no papel):
- Desenhe o plano
(visão de cima) e marque os pontos e . Trace uma elipse passando por esses quatro pontos (mais longa em , bem mais curta em ). - Em um desenho 3D de perspectiva, coloque essa elipse como a “base” e, a partir de vários pontos da elipse, trace retas verticais (paralelas ao eixo
) para cima e para baixo — isso mostra a extrusão da elipse ao longo de . - Opcional: marque algumas curvas de nível para planos horizontais, por exemplo interseções com
(a própria elipse), , (mesmas elipses deslocadas verticalmente).
Resposta
Cilindro elíptico definido por
, com eixo paralelo ao eixo
. Semi-eixos:
(direção
) e
(direção
). Parametrização:
com
.