Esboce a superfície de nível f(x, y, z)=k
w=4 x^{2}+16 y^{2}+z^{2} ; k=4

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
w = 4x^{2} + 16y^{2} + z^{2}
e pede o esboço da superfície de nível correspondente a k=4, ou seja o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
4x^{2} + 16y^{2} + z^{2} = 4.
Informações relevantes fornecidas: a equação explícita da superfície de nível e o valor numérico de k igual a 4. A tarefa é visualizar (esboçar) essa superfície no espaço.

Passo 2

O que é uma superfície de nível? É o conjunto de pontos em \mathbb{R}^{3} que fazem a função tomar um mesmo valor k. Aqui temos uma equação quadrática em x,y,z; essas equações costumam representar superfícies quadricas (esferas, elipsoides, paraboloides, etc.). Para identificar o tipo, escrevemos a equação numa forma padrão, dividindo para obter coeficientes de 1 em denominadores que representam os quadrados dos semi-eixos.

Passo 3

Divide-se a equação por 4 para obter a forma mais clara:
\frac{4x^{2}}{4} + \frac{16y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{4}{4}.
Simplificando:
x^{2} + 4y^{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1.

Passo 4

Reescrevemos a equação na forma padrão de um elipsóide:
\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{z^{2}}{2^{2}} = 1.
Dessa forma vemos que é um elipsóide centrado na origem com semi-eixos
a = 1 \quad(\text{direção }x),\qquad b = \tfrac{1}{2}\quad(\text{direção }y),\qquad c = 2\quad(\text{direção }z).çãçãçã

Passo 5

Interpretação geométrica imediata (útil para esboçar): os interceptos com os eixos são obtidos anulando as outras variáveis.
  • Para y=0,z=0: 4x^{2}=4 então x=\pm 1. Logo interceptos em x=\pm 1.
  • Para x=0,z=0: 16y^{2}=4 então y=\pm \tfrac{1}{2}. Logo interceptos em y=\pm \tfrac{1}{2}.
  • Para x=0,y=0: z^{2}=4 então z=\pm 2. Logo interceptos em z=\pm 2.
Esses pontos dão a “envergadura” do elipsóide nas três direções e são essenciais para o esboço.

Passo 6

Análise de seções para desenhar camadas:
Fixando um valor de z qualquer, a interseção com o plano z=\text{const} é dada por
4x^{2}+16y^{2}=4 - z^{2}.
Dividindo por 4:
x^{2} + 4y^{2} = 1 - \frac{z^{2}}{4}.
Se |z|<2 isso é uma elipse cujos semi-eixos em x e y valem
\text{semi-eixo em }x:\quad \sqrt{1 - \frac{z^{2}}{4}},
\text{semi-eixo em }y:\quad \frac{1}{2}\sqrt{1 - \frac{z^{2}}{4}}.
Quando z=0 a seção é a elipse maior x^{2}+4y^{2}=1 com semi-eixos 1 e \tfrac{1}{2}. Quando |z|\to 2 a elipse encolhe até um ponto (originando os vértices em z=\pm 2). Para |z|>2 não há interseção real (vazio).

Passo 7

Seções nos planos coordenados ajudam a esboçar:
  • Plano y=0: 4x^{2}+z^{2}=4 é uma elipse no plano xz com semi-eixos x=\pm1 e z=\pm2.
  • Plano x=0: 16y^{2}+z^{2}=4 é uma elipse no plano yz com semi-eixos y=\pm\tfrac{1}{2} e z=\pm2.
    Essas duas elipses principais (nos planos xz e yz) servem como “esqueleto” do elipsóide no esboço.

Passo 8

Parametrização (útil se quiser plotar ou entender a superfície de maneira mais concreta). Uma parametrização que cobre todo o elipsóide é:
x = \sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \tfrac{1}{2}\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = 2\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi). Verificação rápida: substituindo na equação original obtemos
4x^{2}+16y^{2}+z^{2}=4\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta + 4\cos^{2}\varphi = 4(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)=4.
Isso confirma que a parametrização descreve corretamente a superfície.

Passo 9

Dicas práticas para o esboço (passo a passo quando estiver com lápis e papel):
  1. Desenhe os três eixos x,y,z com a origem no centro.
  2. Marque os interceptos: x=\pm 1, y=\pm \tfrac{1}{2}, z=\pm 2.
  3. No plano z=0 desenhe a elipse maior com semi-eixos 1 (horizontal) e \tfrac{1}{2} (profundidade).
  4. No plano x=0 e y=0 desenhe as elipses do passo 7 para visualizar a extensão em z.
  5. Una suavemente as curvas: o elipsóide é simétrico em relação aos planos coordenados, mais “esticado” ao longo de z e mais “achatado” na direção y.

Passo 10

Observação sobre outros valores de k: a família de superfícies 4x^{2}+16y^{2}+z^{2}=k é, para k>0, sempre um elipsóide com semi-eixos
a=\sqrt{\frac{k}{4}},\quad b=\sqrt{\frac{k}{16}},\quad c=\sqrt{k}.
No caso k=4 isso dá a=1, b=\tfrac{1}{2}, c=2 como já vimos. Para k=0 a superfície degenera para o ponto (0,0,0). Para k<0 não existem pontos reais.

Resposta

Elipsóide centrado na origem dado por \displaystyle \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{2^{2}}=1, com semi-eixos a=1 (direção x), b=\tfrac{1}{2} (direção y) e c=2 (direção z); interceptos x=\pm1, y=\pm\tfrac{1}{2}, z=\pm2.

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