Esboce a superfície de nível
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis
e pede o esboço da superfície de nível correspondente a
, ou seja o conjunto de pontos
tais que
Informações relevantes fornecidas: a equação explícita da superfície de nível e o valor numérico de
igual a
. A tarefa é visualizar (esboçar) essa superfície no espaço.
Passo 2
O que é uma superfície de nível? É o conjunto de pontos em
que fazem a função tomar um mesmo valor
. Aqui temos uma equação quadrática em
; essas equações costumam representar superfícies quadricas (esferas, elipsoides, paraboloides, etc.). Para identificar o tipo, escrevemos a equação numa forma padrão, dividindo para obter coeficientes de
em denominadores que representam os quadrados dos semi-eixos.
Passo 3
Divide-se a equação por
para obter a forma mais clara:
Simplificando:
Passo 4
Reescrevemos a equação na forma padrão de um elipsóide:
Dessa forma vemos que é um elipsóide centrado na origem com semi-eixos
Passo 5
Interpretação geométrica imediata (útil para esboçar): os interceptos com os eixos são obtidos anulando as outras variáveis.
- Para
: então . Logo interceptos em . - Para
: então . Logo interceptos em . - Para
: então . Logo interceptos em .
Esses pontos dão a “envergadura” do elipsóide nas três direções e são essenciais para o esboço.
Passo 6
Análise de seções para desenhar camadas:
Fixando um valor de qualquer, a interseção com o plano
é dada por
Fixando um valor de
Dividindo por
:
Se
isso é uma elipse cujos semi-eixos em
e
valem
Quando
a seção é a elipse maior
com semi-eixos
e
. Quando
a elipse encolhe até um ponto (originando os vértices em
). Para
não há interseção real (vazio).
Passo 7
Seções nos planos coordenados ajudam a esboçar:
- Plano
: é uma elipse no plano com semi-eixos e . - Plano
: é uma elipse no plano com semi-eixos e .
Essas duas elipses principais (nos planose ) servem como “esqueleto” do elipsóide no esboço.
Passo 8
Parametrização (útil se quiser plotar ou entender a superfície de maneira mais concreta). Uma parametrização que cobre todo o elipsóide é:
com
e
. Verificação rápida: substituindo na equação original obtemos
Isso confirma que a parametrização descreve corretamente a superfície.
Passo 9
Dicas práticas para o esboço (passo a passo quando estiver com lápis e papel):
- Desenhe os três eixos
com a origem no centro. - Marque os interceptos:
, , . - No plano
desenhe a elipse maior com semi-eixos (horizontal) e (profundidade). - No plano
e desenhe as elipses do passo 7 para visualizar a extensão em . - Una suavemente as curvas: o elipsóide é simétrico em relação aos planos coordenados, mais “esticado” ao longo de
e mais “achatado” na direção .
Passo 10
Observação sobre outros valores de
: a família de superfícies
é, para
, sempre um elipsóide com semi-eixos
No caso
isso dá
,
,
como já vimos. Para
a superfície degenera para o ponto
. Para
não existem pontos reais.
Resposta
Elipsóide centrado na origem dado por
, com semi-eixos
(direção
),
(direção
) e
(direção
); interceptos
,
,
.