Esboce as superfícies de nível de
, para os seguintes
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de
para os valores
.
Informações dadas:
- A função é
. - Para cada valor dado de
devemos considerar a superfície de nível definida por . - Os valores de
são .
Passo 2
O que é uma superfície de nível: para uma função
de três variáveis, a superfície de nível associada a um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Isso gera, em geral, uma superfície em
. Aqui vamos escrever essa equação e manipulá‑la para identificar o tipo de superfície e como esboçá‑la.
Passo 3
Escrever explicitamente a equação da superfície de nível: igualando
a
obtemos
Isolando
fica mais simples para visualizar:
Explicação do que cada termo significa:
-
e são as coordenadas horizontais no plano. -
é a coordenada vertical. - Para cada par
a altura é , ou seja, a superfície é o gráfico de uma função .
Passo 4
Identificar o tipo de superfície e suas características gerais:
- A equação
é uma parábola quadrática negativa em e : trata‑se de um paraboloide circular (paraboloide elíptico circular) com eixo no eixo . - A abertura é para baixo (porque os termos em
e têm sinal negativo). - O vértice (ponto máximo) está no eixo e ocorre quando
e . Substituindo esses valores, portanto o vértice é o ponto . - Cada valor diferente de
desloca verticalmente o vértice: superfícies com diferentes são paraboloides concorrentes, paralelos e não se intersectam (dois níveis diferentes não podem conter o mesmo ponto porque isso exigiria ).
Passo 5
Traços (secções) úteis para esboçar:
- Secção pela reta
(plano ): a curva é a parábola Ou seja, no plano a superfície corta em uma parábola no plano . - Secção pelo plano horizontal
: ao fixar obtemos Isso é um círculo de raio sempre que . Em particular, intersectando com o plano obtemos o círculo que só existe se . Essa informação diz onde a casquinha do paraboloide corta o plano . - Em suma: para cada
temos um “bowl” (tigela) com topo em ; para níveis horizontais abaixo do vértice temos círculos cujos raios aumentam conforme descemos.
Passo 6
Aplicar isso aos valores concretos
. Para cada
escrever a equação, o vértice e dizer se corta o plano
:
-
Para
: Vértice em. Intersecção com : (círculo de raio ). -
Para
: Vértice em. Intersecção com : (círculo de raio ). -
Para
: Vértice em. Intersecção com : apenas o ponto . -
Para
: Vértice em. Não há intersecção com (pois exigiria , impossível). -
Para
: Vértice em. Também não interseca .
Passo 7
Como esboçar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
- Desenhe os eixos
, (no plano horizontal) e vertical. - Marque os vértices
, , , , sobre o eixo . - Para cada vértice desenhe uma “tigela” voltada para baixo. As tigelas devem ser concêntricas (mesmo eixo) e não se cruzam.
- Para
e desenhe os círculos de intersecção com de raios e , respectivamente; para marque apenas o ponto na origem; para não há corte com . - Se quiser mais fidelidade, desenhe as secções em
: parábolas para cada .
Dica de visualização: imagine pilhas de tigelas abertas para baixo, uma acima da outra. A mais alta é
, logo abaixo
, depois
, etc.
Passo 8
Resumo das propriedades geométricas importantes (úteis na prova):
- Todas as superfícies são paraboloides circulares com eixo
e abertura para baixo. - Vértice em
para cada nível . - As intersecções por planos horizontais
são círculos de raio (quando ). - Níveis com
ficam totalmente abaixo do plano ; níveis com cortam o plano em círculos.