Esboce as superfícies de nível de f, para os seguintes c :
(c) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z, c=0, \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z para os valores c=0,\pm1,\pm2.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z.
  • Para cada valor dado de c devemos considerar a superfície de nível definida por f(x,y,z)=c.
  • Os valores de c são 2,1,0,-1,-2.

Passo 2

O que é uma superfície de nível: para uma função f(x,y,z) de três variáveis, a superfície de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
f(x,y,z)=c.
Isso gera, em geral, uma superfície em \mathbb{R}^3. Aqui vamos escrever essa equação e manipulá‑la para identificar o tipo de superfície e como esboçá‑la.

Passo 3

Escrever explicitamente a equação da superfície de nível: igualando f a c obtemos
x^{2}+y^{2}+z=c.
Isolando z fica mais simples para visualizar:
z=c-x^{2}-y^{2}.
Explicação do que cada termo significa:
  • x e y são as coordenadas horizontais no plano.
  • z é a coordenada vertical.
  • Para cada par (x,y) a altura z é c-x^{2}-y^{2}, ou seja, a superfície é o gráfico de uma função z=g(x,y).

Passo 4

Identificar o tipo de superfície e suas características gerais:
  • A equação \;z=c-x^{2}-y^{2}\; é uma parábola quadrática negativa em x e y: trata‑se de um paraboloide circular (paraboloide elíptico circular) com eixo no eixo z.
  • A abertura é para baixo (porque os termos em x^{2} e y^{2} têm sinal negativo).
  • O vértice (ponto máximo) está no eixo e ocorre quando x=0 e y=0. Substituindo esses valores, z_{\text{vértice}}=c,éportanto o vértice é o ponto (0,0,c).
  • Cada valor diferente de c desloca verticalmente o vértice: superfícies com diferentes c são paraboloides concorrentes, paralelos e não se intersectam (dois níveis diferentes não podem conter o mesmo ponto porque isso exigiria c_1=c_2).

Passo 5

Traços (secções) úteis para esboçar:
  • Secção pela reta y=0 (plano y=0): a curva é a parábola z=c-x^{2}.Ou seja, no plano y=0 a superfície corta em uma parábola no plano x\!-\!z.
  • Secção pelo plano horizontal z=z_{0}: ao fixar z=z_{0} obtemos x^{2}+y^{2}=c-z_{0}.Isso é um círculo de raio \sqrt{c-z_{0}} sempre que c-z_{0}\ge 0. Em particular, intersectando com o plano z=0 obtemos o círculo x^{2}+y^{2}=c,que só existe se c\ge 0. Essa informação diz onde a casquinha do paraboloide corta o plano z=0.
  • Em suma: para cada c temos um “bowl” (tigela) com topo em z=c; para níveis horizontais abaixo do vértice temos círculos cujos raios aumentam conforme descemos.

Passo 6

Aplicar isso aos valores concretos c=2,1,0,-1,-2. Para cada c escrever a equação, o vértice e dizer se corta o plano z=0:
  • Para c=2:
    z=2-x^{2}-y^{2}.
    Vértice em (0,0,2). Intersecção com z=0: x^{2}+y^{2}=2 (círculo de raio \sqrt{2}).
  • Para c=1:
    z=1-x^{2}-y^{2}.
    Vértice em (0,0,1). Intersecção com z=0: x^{2}+y^{2}=1 (círculo de raio 1).
  • Para c=0:
    z=0-x^{2}-y^{2}=-x^{2}-y^{2}.
    Vértice em (0,0,0). Intersecção com z=0: apenas o ponto x^{2}+y^{2}=0\Rightarrow(0,0,0).
  • Para c=-1:
    z=-1-x^{2}-y^{2}.
    Vértice em (0,0,-1). Não há intersecção com z=0 (pois exigiria x^{2}+y^{2}=-1, impossível).
  • Para c=-2:
    z=-2-x^{2}-y^{2}.
    Vértice em (0,0,-2). Também não interseca z=0.

Passo 7

Como esboçar graficamente (passo a passo prático que dá para fazer à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos x, y (no plano horizontal) e z vertical.
  2. Marque os vértices (0,0,2), (0,0,1), (0,0,0), (0,0,-1), (0,0,-2) sobre o eixo z.
  3. Para cada vértice desenhe uma “tigela” voltada para baixo. As tigelas devem ser concêntricas (mesmo eixo) e não se cruzam.
  4. Para c=2 e c=1 desenhe os círculos de intersecção com z=0 de raios \sqrt{2} e 1, respectivamente; para c=0 marque apenas o ponto na origem; para c=-1,-2 não há corte com z=0.
  5. Se quiser mais fidelidade, desenhe as secções em y=0: parábolas z=c-x^{2} para cada c.
Dica de visualização: imagine pilhas de tigelas abertas para baixo, uma acima da outra. A mais alta é c=2, logo abaixo c=1, depois c=0, etc.

Passo 8

Resumo das propriedades geométricas importantes (úteis na prova):
  • Todas as superfícies são paraboloides circulares com eixo z e abertura para baixo.
  • Vértice em (0,0,c) para cada nível c.
  • As intersecções por planos horizontais z=z_{0} são círculos de raio \sqrt{c-z_{0}} (quando c\ge z_{0}).
  • Níveis com c<0 ficam totalmente abaixo do plano z=0; níveis com c>0 cortam o plano z=0 em círculos.

Resposta

c=2:\; z=2-x^{2}-y^{2}, vértice em (0,0,2), interseção com z=0:\;x^{2}+y^{2}=2.\n
c=1:\; z=1-x^{2}-y^{2}, vértice em (0,0,1), interseção com z=0:\;x^{2}+y^{2}=1.\n
c=0:\; z=-x^{2}-y^{2}, vértice em (0,0,0), interseção com z=0:\;(0,0,0).\n
c=-1:\; z=-1-x^{2}-y^{2}, vértice em (0,0,-1), não interseca z=0.\n
c=-2:\; z=-2-x^{2}-y^{2}, vértice em (0,0,-2), não interseca z=0.

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