Esboce as superfícies de nível de
, para os seguintes
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de
para os valores
.
Informações dadas:
- A função é
. - Valores de nível solicitados:
, , , , . - A superfície de nível para um valor
é o conjunto .
Passo 2
Definição e primeiro passo algébrico: escrever a equação da superfície de nível substituindo
por
. Temos
Multiplicando por
(ou reescrevendo) obtemos a forma mais útil
Passo 3
Observação importante sobre o lado esquerdo:
é uma soma de quadrados, logo sempre satisfaz
para todos os pontos reais
. Isso implica que a igualdade
só pode ter solução se o lado direito for não negativo, ou seja, se
. Portanto as superfícies de nível existem somente quando
Passo 4
Caso geral para
: se
então
e a equação
é a equação de uma esfera centrada na origem com raio
Explicando: a equação
descreve a esfera de raio
centrada em
; aqui
, então
.
Passo 5
Aplicando ao caso
: substituindo dá
ou seja, a esfera de raio
(esfera unitária centrada na origem). Essa é uma superfície fechada e convexa que, no esboço, aparece como uma bola oca (apenas a casca) de raio
.
Passo 6
Aplicando ao caso
: substituindo dá
ou seja, uma esfera centrada na origem de raio
. No esboço isso é uma esfera maior, concêntrica com a de raio
.
Passo 7
Caso especial
: a equação fica
A soma de três quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, portanto a única solução é o ponto
. Assim a superfície de nível para
não é uma esfera de raio zero visualizável como superfície, é simplesmente o ponto central.
Passo 8
Caso
(ou seja
e
no enunciado): como visto em
Passo 9
não admite solução em
(não existe soma de quadrados igual a um número negativo). Portanto para
e
as superfícies de nível são vazias: não há pontos reais que satisfaçam a igualdade.
Passo 10
Como esboçar na prática (dicas de desenho à mão): desenhe o ponto
para
. Desenhe uma pequena esfera (esboço de círculo em perspectiva) de raio
para
. Desenhe outra esfera concêntrica maior de raio
para
. Para
e
não desenhe nada (conjunto vazio). Se quiser, trace secções planas (por exemplo plano
) para ver círculos de raios
e
— isso ajuda a visualizar as esferas em 3D.
Passo 11
Resumo conceitual curto (para usar na prova): sempre que
depende apenas de
com sinal negativo, níveis negativos correspondem a esferas centradas na origem com raio
;
dá o ponto origem;
não tem solução porque soma de quadrados não pode ser negativa.