Esboce as superfícies de nível de f, para os seguintes c :
(a) f(x, y, z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2}, c=0, \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de f(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2} para os valores c=0,\pm1,\pm2.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2}.
  • Valores de nível solicitados: c=0, c=1, c=-1, c=2, c=-2.
  • A superfície de nível para um valor c é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\}.

Passo 2

Definição e primeiro passo algébrico: escrever a equação da superfície de nível substituindo f por c. Temos
-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c.
Multiplicando por -1 (ou reescrevendo) obtemos a forma mais útil
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c.

Passo 3

Observação importante sobre o lado esquerdo: x^{2}+y^{2}+z^{2} é uma soma de quadrados, logo sempre satisfaz
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 0
para todos os pontos reais (x,y,z). Isso implica que a igualdade
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c
só pode ter solução se o lado direito for não negativo, ou seja, se -c\ge 0. Portanto as superfícies de nível existem somente quando
c\le 0.

Passo 4

Caso geral para c<0: se c<0 então -c>0 e a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c
é a equação de uma esfera centrada na origem com raio
r=\sqrt{-c}.
Explicando: a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} descreve a esfera de raio r centrada em (0,0,0); aqui r^{2}=-c, então r=\sqrt{-c}.

Passo 5

Aplicando ao caso c=-1: substituindo dá
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
ou seja, a esfera de raio r=1 (esfera unitária centrada na origem). Essa é uma superfície fechada e convexa que, no esboço, aparece como uma bola oca (apenas a casca) de raio 1.

Passo 6

Aplicando ao caso c=-2: substituindo dá
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2,
ou seja, uma esfera centrada na origem de raio r=\sqrt{2}. No esboço isso é uma esfera maior, concêntrica com a de raio 1.

Passo 7

Caso especial c=0: a equação fica
x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.
A soma de três quadrados só é zero quando cada quadrado é zero, portanto a única solução é o ponto (0,0,0). Assim a superfície de nível para c=0 não é uma esfera de raio zero visualizável como superfície, é simplesmente o ponto central.

Passo 8

Caso c>0 (ou seja c=1 e c=2 no enunciado): como visto em

Passo 9

x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c
não admite solução em \mathbb{R}^{3} (não existe soma de quadrados igual a um número negativo). Portanto para c=1 e c=2 as superfícies de nível são vazias: não há pontos reais que satisfaçam a igualdade.

Passo 10

Como esboçar na prática (dicas de desenho à mão): desenhe o ponto (0,0,0) para c=0. Desenhe uma pequena esfera (esboço de círculo em perspectiva) de raio 1 para c=-1. Desenhe outra esfera concêntrica maior de raio \sqrt{2} para c=-2. Para c=1 e c=2 não desenhe nada (conjunto vazio). Se quiser, trace secções planas (por exemplo plano z=0) para ver círculos de raios 1 e \sqrt{2} — isso ajuda a visualizar as esferas em 3D.

Passo 11

Resumo conceitual curto (para usar na prova): sempre que f depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2} com sinal negativo, níveis negativos correspondem a esferas centradas na origem com raio \sqrt{-c}; c=0 dá o ponto origem; c>0 não tem solução porque soma de quadrados não pode ser negativa.

Resposta

c=0:\\ \{(0,0,0)\}
c=1:\\ \varnothing
c=-1:\\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}
c=2:\\ \varnothing
c=-2:\\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\}

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