Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c :
(j) f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}, c=1,2

Passo 1

O enunciado pede: "Esboce as curvas de nível de f para os valores c=1 e c=2". As informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.
  • Precisamos obter as curvas de nível (conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c) para c=1 e c=2.

Passo 2

O que é uma curva de nível?
  • Para uma função f(x,y), a curva de nível associada a um número c é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
  • Aqui isso significa resolver a equação e^{x^{2}+y^{2}}=c e interpretar geometricamente o conjunto de soluções no plano (x,y).

Passo 3

Resolver a equação da curva de nível:
Partimos de
e^{x^{2}+y^{2}}=c.
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}), obtemos
x^{2}+y^{2}=\ln c.
Aqui explico o passo do logaritmo: para qualquer número positivo c vale \ln(e^{u})=u, então aplicar \ln em ambos os lados elimina a exponencial e dá a igualdade acima. Note que isso só faz sentido se c>0, pois \ln c está definido apenas para c>0.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação obtida:
x^{2}+y^{2}=\ln c
é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) com raio
r=\sqrt{\ln c},
desde que \ln c\ge0. Como x^{2}+y^{2}\ge0 para todo (x,y), a igualdade só pode ocorrer se \ln c\ge0, isto é, se c\ge1. Conclusão importante: para 0<c<1 não existe curva de nível real, porque \ln c<0 e não há x,y tais que x^{2}+y^{2} seja negativo.

Passo 5

Aplicando ao caso c=1:
Calcule \ln 1:
\ln 1=0.
Logo a equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=0.
Isto é satisfeito apenas por (x,y)=(0,0). Portanto para c=1 a “curva de nível” degenera em um único ponto: o ponto origem.

Passo 6

Aplicando ao caso c=2:
Calcule \ln 2. Conhecido que \ln 2\approx0,6931. Então o raio é
r=\sqrt{\ln 2}\approx\sqrt{0,6931}\approx0,8326.
Logo a curva de nível para c=2 é o círculo centrado na origem dado por
x^{2}+y^{2}=\ln 2,
ou seja, um círculo de raio aproximadamente 0,8326.

Passo 7

Como esboçar no papel (passo a passo prático para a prova):
  • Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  • Para c=1: marque apenas um ponto na origem. Indique que é a curva de nível x^{2}+y^{2}=0.
  • Para c=2: usando uma escala qualquer no papel, desenhe um círculo centrado na origem com raio aproximadamente 0,83 (ou desenhe um círculo menor que 1 unidade). Indique a equação x^{2}+y^{2}=\ln 2.
  • Se quiser complementar, mostre que curvas de nível para c>1 são círculos concêntricos de raios \sqrt{\ln c} crescentes com c, e para 0<c<1 não há curva de nível real.

Resposta

Para c=1: a curva de nível é o ponto (0,0), dada por x^{2}+y^{2}=0.
Para c=2: a curva de nível é o círculo x^{2}+y^{2}=\ln 2, de raio r=\sqrt{\ln 2}\approx0,8326.

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