Esboce as curvas de nível de
, para os seguintes
:
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede: "Esboce as curvas de nível de
para os valores
e
". As informações dadas:
- A função é
. - Precisamos obter as curvas de nível (conjunto de pontos
tais que ) para e .
Passo 2
O que é uma curva de nível?
- Para uma função
, a curva de nível associada a um número é o conjunto . - Aqui isso significa resolver a equação
e interpretar geometricamente o conjunto de soluções no plano .
Passo 3
Resolver a equação da curva de nível:
Partimos de
Partimos de
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que
é a função inversa de
), obtemos
Aqui explico o passo do logaritmo: para qualquer número positivo
vale
, então aplicar
em ambos os lados elimina a exponencial e dá a igualdade acima. Note que isso só faz sentido se
, pois
está definido apenas para
.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação obtida:
é a equação de um círculo centrado na origem
com raio
desde que
. Como
para todo
, a igualdade só pode ocorrer se
, isto é, se
. Conclusão importante: para
não existe curva de nível real, porque
e não há
tais que
seja negativo.
Passo 5
Aplicando ao caso
:
Calcule :
Calcule
Logo a equação da curva de nível é
Isto é satisfeito apenas por
. Portanto para
a “curva de nível” degenera em um único ponto: o ponto origem.
Passo 6
Aplicando ao caso
:
Calcule . Conhecido que
. Então o raio é
Calcule
Logo a curva de nível para
é o círculo centrado na origem dado por
ou seja, um círculo de raio aproximadamente
.
Passo 7
Como esboçar no papel (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - Para
: marque apenas um ponto na origem. Indique que é a curva de nível . - Para
: usando uma escala qualquer no papel, desenhe um círculo centrado na origem com raio aproximadamente (ou desenhe um círculo menor que 1 unidade). Indique a equação . - Se quiser complementar, mostre que curvas de nível para
são círculos concêntricos de raios crescentes com , e para não há curva de nível real.
Resposta
Para
: a curva de nível é o ponto
, dada por
.
Para
: a curva de nível é o círculo
, de raio
.